Вопрос 7. «Технологии формирования устных и письменных вычислений»
Характеристика видов вычислений и вычислительных приемов
План лекции
1. Виды вычислений
2. Характеристика вычислительного приема
3. Этапы формирования вычислительных умений
4. Виды вычислений
Формирование у школьников 1-4 классов вычислительных умений и навыков традиционно считается одной из основных задач курса математики в начальной школе
По способу производства действий вычисления делятся на три вида: устные, письменные и полуписьменные.
Устные вычисления в сформированном виде выполняются мысленно, совсем без записи чисел или с записью данных и результата в строчку. При этом сами вычисления выполняются разными способами и начинаются с единиц высшего разряда. Устные вычисления в процессе усвоения могут быть доведены до уровня навыка. Вычисления протекают в форме автоматизированного (неосознаваемого) психического регулирования, а обращение к развернутому алгоритму выполнения действия происходит только в случаях затруднений или по требованию учителя, желающего проверить степень осознанности выполняемого действия или для осуществления контроля за выполняемым действием.
Устные вычисления в свою очередь делятся на табличные и внетабличные. К табличным вычислениям относят все случаи выполнения сложения и умножения с однозначными числами и соответствующие им случаи вычитания и деления. К устным внетабличным приемам вычислений относят все случаи вычислений в пределах сотни, кроме табличных, и, сводимые к ним, вычисления с многозначными числами.
Письменные вычисления характеризуются тем, что в процессе вычислений производится запись, как результата действия, так и промежуточных операций, которая имеет особую форму записи «в столбик». Вычисления выполняются по установленным правилам (алгоритмам) и начинаются с единиц низших разрядов (кроме деления). Письменные вычисления формируются на уровне умений и выполняются с опорой на усвоенный алгоритм действия, который постепенно сокращается, приобретая некоторые операциональные характеристики, но усвоенный алгоритм всегда остается регулирующей основой вычислительного действия.
Полуписьменные вычисления характеризуются частичным использованием признаков устных и письменных вычислений и чаще всего используются в особых приемах вычислений
328 * 25 = 328 * 100 : 4 = 328 : 4 * 100 = 8200
К полуписьменным вычислениям относят и деление в столбик, поскольку этот вид вычислений начинается с единиц старшего разряда, а значит, обладает признаками письменных и устных вычислений.
2. Характеристика вычислительного приема
Под вычислительным приемом (ВП) понимают совокупность операций, приводящую к нахождению результата вычислений в выражениях определенного типа. В устных вычислениях чаще всего эта совокупность операций содержит:
· разбивку одного из чисел на части, что приводит к получению составного выражения;
· применение свойства арифметического действия для изменения порядка действий в полученном составном выражении;
· выполнение во вновь полученном составном выражении вычислений по правилу порядка действий.
Подробное проговаривание этих операций составляют полный, развернутый алгоритм рассуждений. Например, для вычислительного приема вида 40+12 он будет следующим. «Чтобы к 42 прибавить 12 можно, 12 разложить на сумму разрядных слагаемых 10 и 2 и эту сумму прибавить к числу 40. Получим составное выражение 40+(10+2). Чтобы вычислить значение этого составного выражения можно изменить в выражении порядок действий применив правило прибавления суммы к числу. Удобно, к числу40 прибавить 10 и к полученному результату прибавить второе слагаемое 2. Получим второе составное выражение (40+10)+2. Вычислим значение этого выражения, применив правило порядка действий. Вычисляем, к 50+10=60, к 60+2=62. Значение суммы чисел 40 и12 равно 62.» Символическая запись этого рассуждения имеет вид:
40+12= 40+(10+2)=(40+10)+2=50+2=52
Такой алгоритм должен быть представлен детям на уроке ознакомления с вычислительным приемом, затем он постепенно сокращается и переходит в умственный план.
Овладеть вычислительным приемом, значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро в развёрнутом и свёрнутом виде.
Вычислительный приём имеет название, теоретическую основу, алгоритм рассуждений и совокупность базовых знаний.
Название вычислительного приёма складывается из названия вида вычислений (письменные, устные), действия, которое используется в вычислении (сложение, вычитание, умножение или деление) и названия чисел по их значности (однозначное, двузначное).
Например: 371*8 – письменное (вид вычисления) умножение (действие) трёхзначного числа на однозначное (названия чисел по их значности).
В основе методики формирования вычислительных умений и навыков положен принцип сведения нового вычислительного приема к ранее изученным. Это значит, что каждый ВП требует знания определенной совокупности базовых знаний, опираясь на которую можно организовать самостоятельную деятельность детей по открытию нового ВП и его осознанное усвоение. Например, для вычислительного приема вида «умножение двузначного числа на однозначное» базовой может быть следующая совокупность знаний:
· разрядный состав чисел;
· свойство умножения суммы на число;
· правило порядка действий; умножение круглых десятков на однозначное число;
· табличные случаи умножения;
· сложение двузначных чисел.
Теоретической основой ВП могут служить свойства арифметических действий или следствия из них, с помощью которых данный вычислительный прием сводится к ранее изученным, и таким образом находят значение данного выражения.
Например, для вычислительного приема вида 13-5 можно использовать, по меньшей мере, две теоретические основы.
13-5=13-(3+2)= (13-3)-2=10-2=8
13-5=(10+3)-5= (10-5)+3=5+3=8
В первом случае теоретической основой является свойство вычитания суммы из числа, а во втором – вычитание числа из суммы. То есть один и тот же вычислительный прием может иметь несколько теоретических основ, которые и задают алгоритм вычислений.
Ниже приводится таблица, в которой указана теоретическая основа изучаемых вычислительных приемов.
Таблица
| Устные вычислительные приемы | Теоретическая основа устных вычислительных приемов |
| 40+20 50 - 30 | Разрядный состав двузначного числа. Табличные случаи сложения (вычитания) |
| 34 + 20 34 + 2 26 +4 | Прибавление числа к сумме |
| 47 + 5 | Прибавление суммы к числу |
| 42 - 5 | Вычитание суммы из числа |
| 40 + 16 40 - 16 | Прибавление суммы к числу .Вычитание суммы из числа. |
| 45 + 12 45 - 12 | Прибавление суммы к числу. Вычитание суммы из числа. |
1.3. Этапы формирования вычислительных умений
Формирование вычислительных умений и навыков – одна из основных задач начального курса математики.
Вычислительные умения – это развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и конкретизируется. В отличие от умения вычислительные навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.
Принято считать, что процесс вычислений требует только репродуктивного воспроизведения соответствующего алгоритма. Поэтому в педагогической практике преобладает такой подход, при котором обучение вычислительным приемам идет репродуктивным путем. Деятельность детей состоит во внимательном слушании учителя, выполнении практических действий по заданной инструкции или образцу, объяснении готового решения. В этих условиях вычислительные навыки формируются в результате выполнения большого числа однообразных заданий, и не приобретают необходимых качественных характеристик. При таком обучении не происходит и существенного умственного развития.
Формирование полноценного вычислительного навыка должно обеспечиваться созданием ряда специальных условий. Первостепенное значение имеет систематическая работа по формированию мотивов учебной деятельности, организация поисковой, эвристической деятельности учащихся на этапе восприятия вычислительного приема, целенаправленный отбор заданий для обеспечения осознания и осмысления вновь вводимого вычислительного приема, насыщение всего процесса формирования заданиями на развитие приемов умственных действий, учет индивидуальных особенностей усвоения.
При формировании вычислительных навыков необходимо исходить из того, что мышление - это активная, целенаправленная деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновь поступающей информации, отчленение внешних случайных или второстепенных ее элементов от основных или внутренних, отражающих сущность исследуемых ситуаций, раскрывается закономерная связь между ними.
Задача учителя заключается в умелом руководстве этой деятельностью. Управлять - не значит подавлять, навязывать процессу мышления ход, противоречащий его природе, а, наоборот, максимально учитывать эту природу, согласовывать каждое воздействие на процесс с его логикой и особенностями усвоения учащихся. В связи с этим, оптимально подобранная совокупность заданий на каждом этапе формирования вычислительного навыка становится средством управления мышлением и практическими действиями школьников.
Формирование вычислительных умений и навыков можно осуществлять, придерживаясь следующих этапов: подготовка к восприятию вычислительного приема, восприятие нового материала, осознание и осмысление всех характеристик вычислительного приема, закрепление и применение сформированного вычислительного умения.
Этап подготовки к восприятию нового вычислительного приема предполагает проведение тщательной перспективной и непосредственной подготовки. Перспективная подготовкапредполагает, что учащиеся предварительно изучают все знания, которые являются базовыми для нового вычислительного приема. Этому способствует основополагающий принцип изучения вычислительных приемов: сведение нового вычислительного приема к ранее изученным.
Непосредственная подготовка к изучению нового ВП традиционно предполагает: актуализацию опорных знаний из числа тех, которые входят в базовые для нового вычислительного приема. Актуализация знаний предполагает решение трех задач:
· воспроизведение понятий и алгоритмов, необходимых и достаточных для «открытия» нового знания;
· создание положительной мотивации к изучению нового ВП;
· отработка логических приемов мышления.
При отборе упражнений для данного этапа важны все три составляющих: первая позволяет содержательно подготовить этап открытия нового знания. Вторая положительную эмоциональную направленность на его включение в следующий этап урока. Третья активизировать мыслительные способности учащихся: способность к анализу, синтезу, сравнению, классификации, аналогии, обобщению.
Таблица
Этапы формирования вычислительных умений
| Подготовка к восприятию | Восприятие материала | Осознание и осмысление | Закрепление и применение |
| 1.Перспективная подготовка. 2.Непосредственная подготовка к восприятию · актуализация опорных знаний; · мотивация деятельности; · создание проблемной ситуации. | 1.Фиксация затруднения 2. Постановка учебной проблемы 3. Поиск решения учебной проблемы 4. Выделение общего способа действия, фиксация его в виде различных моделей | 1. Выполнение упражнений, удовлетворяющих принципам: полноты, однотипности, контрпримеров, сравнения, непрерывного повторения, вариативности. 2.Пооперационный контроль и коррекция | 1, Введение ВП в систему ранее изученных знаний 2. Отработка качеств ВН 3. Формирование действий контроля 4. Итоговый тематический контроль |
Следует подчеркнуть значимость создания ситуации успеха для каждого ребенка на этапе актуализации знаний, поскольку положительный результат, зафиксированный ребенком в сознании, создает положительную эмоциональную направленность на его включение в следующий этап урока.
Этап восприятия нового знания будет организован с большим развивающим эффектом, если введение нового материала будет организовано через проблемную ситуацию. Этот метод в большей степени активизирует процесс мышления и требует высокой степени теоретического обобщения.
В современных УМК предоставляются условия для использования технологии проблемно диалогического обучения, которая позволяет учащимся самостоятельно «открывать» знания, а значит включать детей в продуктивные виды деятельности. (сноска на первую часть)
Известно, что новое знание принимает четкие формы в сознании ученика, если оно зафиксировано в форме алгоритма, схемы или языковой записи, принятой в данной дисциплине и в данной технологии. В связи с чем, на этом этапе происходит оформление нового алгоритма, фиксирование его как вербально, так и графически, что создает основу для развития способности к новому виду математической деятельности – моделированию.
Этап восприятия нового вычислительного приема заканчивается первичным закреплением алгоритма выполнения вычислительного действия.
С этой целью несколько аналогичных примеров выполняются детьми у доски. Выполнение первых заданий полезно сопровождать полным теоретическим обоснованием, затем, перейти к поиску путей сокращения алгоритма и записи вычислений. Переход к выполнению вычислений по сокращенному алгоритму и сокращенной записи должен осуществляться индивидуально по мере усвоения и осознания значения каждой операции учеником.
Ознакомление детей с новым ВП в основном происходит на одном уроке, в конце которого полезно провести небольшое тестирование для выявления уровня усвоения ВП каждым учеником. Полученные в результате тестирования результаты помогут учителю осуществить дифференцированный подход в обучении и с учетом данных тестирования определить содержание следующего урока, с которого начинается следующий этап формирования ВП.
Завершая этот этап, следует особое внимание уделить подведению итога, обсуждению процесса получения результата, различным видам моделирования вновь спроектированного алгоритма выполнения действия, его проговариванию в свернутой и развернутой форме. Именно на этот образец будет ориентироваться ученик на следующих этапах и при самостоятельных вычислениях.
На этапе осознания и осмысления школьниками ВП полезно предложить совокупность упражнений, удовлетворяющую принципам полноты, однотипности, сравнения, вариативности, контрпримеров, непрерывности, единственного различия.
Эти принципы или требования к процессу отбора упражнений необходимо реализовать как для осознания и осмысления приема вычислений, так и для развития логических приемов мышления.
Раскроем принципы отбора совокупности упражнений, которую полезно предлагать учащимся на этапе осознания и осмысления вычислительного приема.
Реализация принципа полноты предполагает, что совокупность упражнений будет содержать задания, обеспечивающие осознанное применение всех операций, связанных с усвоением изучаемого вычислительного приема. К ним мы относим упражнения:
· на отбор выражений, значение которых можно находить с помощью изученного вычислительного приема;
· на отработку каждой операции, входящей в состав вычислительного приема;
· на понимание математического смысла и последовательности выполнения каждой операции входящей в состав алгоритма;
· на осуществление контроля и оценки выполненного вычислительного приема.
Совокупность упражнений будет соответствовать принципу однотипности, если на каждую из выше перечисленных операций будет выполнено достаточное число однотипных упражнений. При этом достаточность определяется индивидуальными особенностями скорости усвоения материала каждым учеником класса. Для осознания и осмысления операции некоторым детям достаточно выполнить одно упражнение, для других, этого количества бывает недостаточно. Здесь нужно подходить дифференцированно, ориентируясь на уровень развития детей в классе и организовать работу так, чтобы одним стало понятно, а другим было интересно.
Принцип контрпримеров предполагает включение в совокупность таких заданий, которые провоцируют ученика на ошибку. Умение увидеть ошибку это уже определенный уровень освоения алгоритма вычислительного приема. В связи с этим такие упражнения могут служить как для осознания и осмысления вычислительного приема, так и для диагностики уровня сформированности вычислительного приема и самоконтроля. Кроме того, такие задания дети воспринимают как своеобразную игру, с интересом включаются в диалог по обоснованию причин возникновения ошибки и правильному выполнению действия, что способствует повышению познавательной мотивации.
Применение принципа сравнения предполагает включение некоторого ряда взаимосвязанных заданий, позволяющих подчеркнуть сходство и различие нового и ранее изученного вычислительных приемов. Алгоритм вычислительных приемов дает для сравнения богатейший материал. Сравнивать можно, опираясь на схематическую, математическую модель выполнения действия, на теоретическую основу вычислительного приема и другие его характеристики. В процессе формирования вычислительных навыков скрыты немалые возможности для существенного развития мышления детей путем использования заданий на сравнение, классификацию, подведение под понятие, выведения следствия из факта принадлежности объекта к понятию. Задача учителя - реализовать их в полной мере через совокупность упражнений, предполагающих использование логических приемов мышления.
Принцип вариативности полезно использовать двояко: варьировать формы выполнения вычислительного приема (варьируя модели вычислительного приема, осуществляя переход от одной модели к другой) и видоизменять форму подачи заданий (используя формулировки: вычисли, допиши, прочитай разными способами, сравни, назови вычислительный прием и т. д.).
Принцип непрерывного повторения предполагает включение вновь изученного вычислительного приема в контекст ранее изученного материала. Это могут быть задачи, уравнения, вычисления на нахождение значений величин и другие, ранее изученные понятия.
Следует понимать, что реализация всех этих принципов вовсе не требует большого числа упражнений, разумно подбирать такие задания, выполнение которых предусматривает реализацию сразу нескольких принципов.
На этапе закрепления и применениядетям предлагается совокупность упражнений, удовлетворяющая принципу непрерывного повторения, т. е., вновь изученный ВП будет включаться в систему ранее усвоенных знаний. Кроме того, на этом этапе учитель предусматривает решение следующих обучающих задач:
· доведения изученного ВП до уровня умения или навыка со всеми присущими им качествами;
· формирование умения проверять правильность вычислений.
В процессе обучения детей работе над ошибками, можно выделить шесть этапов, на каждом из которых используются специальные методические приёмы, формирующие у детей учебные действия контроля и оценки. Результатом такой работы может быть составленный ребенком справочник вычислительных ошибок.
1. Выяснение, какие ошибки можно допустить при выполнении заданий на вычисления и каков характер этих ошибок. Это могут быть ошибки по содержанию (неправильное использование алгоритма вычисления, сложения или вычитание единиц в разряде) и ошибки на невнимание (неверно списал цифры при записи чисел, поставил не тот знак, знак поставил правильно, но выполнял другое действие и т.д.).
2. Знаковая фиксация ошибок. Следующий этап связан с поиском знаковых форм фиксации ошибок. Ученики при участии учителя разрабатывают и придумывают значки для обозначения каждой ошибки.
3. Упорядочивание ошибок. Ученики, прежде чем начать выполнять то, или иное задание, представляли, какие ошибки можно допустить при его выполнении. Такая работа учит мысленно составлять план собственных действий раньше, чем ребенок приступит к выполнению заданий.
4. Работа с контролирующей карточкой. Упорядочивая ошибки, ученики должны осмыслить и выстроить, в какой последовательности и как они будут обнаруживать эти ошибки. В результате учащиеся составляют «Справочник ошибок», где находятся карточки, в которых с помощью созданной символики фиксируют последовательность действий при проверке: первое – проверь вот это, второе – проверь вот это, третье – проверь – вот это.
Ученик выполняет задание сначала до конца, затем возвращается в начало, читает карточку и на каждом этапе проверяет, нет ли у него ошибок. При работе с карточкой очень эффективна работа в паре.
5. Выявление собственных проблем. Когда ученики совместно с учителем составили карточки для самоконтроля и начали работать с ними, то каждому ученику необходимо зафиксировать, где у него появляются ошибки, на каком шаге и отметить эти шаги на карточке.
6. Предвидение ошибки и её предупреждение. На заключительном этапе ученик сначала должен посмотреть, где он может сделать ошибку, и только после этого начинать действовать.
В настоящее время существующие учебно методические комплексы преуспели в разработке совокупности заданий, направленных на отработку как устных, так и письменных вычислений. Наиболее последовательно и обоснованно как с психологической, так и с методической точки зрения разработана совокупность упражнений в системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.
Автор этой совокупности Э. И. Александрова. Всю совокупность упражнений она делит на 10 блоков, в некоторых из них выделяются еще и уровни.
Первый блок – это задания, которые уже выполнены кем-то, а ребёнку нужно их оценить. (Учителями этот блок называется оценочным, ученик узнает информацию и оценивает ее). Этот блок включает в себя задания двух уровней.
1-ый уровень – задания, выполненные кем-то с использованием символической модели. Ученик должен оценить правильность выполненных заданий.
2–ой уровень – задания, выполненные кем-то без использования символической модели. Для того чтобы оценить правильность выполнения заданий, ребёнку сначала нужно выполнить символическую модель.
Второй блок – исполнительный. Эти задания ребёнку нужно выполнить самому.
1-й уровень – ребёнок выполняет задание сам, но ему дан готовый ответ, с которым он сравнивает свое выполнение.
2-й уровень – ребёнок выполняет задание сам, но ему даётся несколько ответов, среди которых один правильный, а остальные получены в результате типичных ошибок.
3-й уровень – ребёнок сам выполняет задание и сам доказывает правильность его выполнения.
Третий блок – рефлексивный. Это задания на придумывание самим ребёнком таких же заданий, как те, которые ему предложены учителем. Этот блок позволяет выяснить, умеет ли ребёнок выделять существенные связи и отношения в заданиях, которые даны учителем и составить такие же.
Четвёртый блок – рефлексивно-методический. Это задания типа: «как научить других, придумывать такие же задания».
Пятый блок – диагностический. Это задания с «ловушками» (можно выделить несколько типов «ловушек»: «ловушки на способ», «ловушки, связанные с недостающими или лишними данными» и др.).
Шестой блок – рефлексивно-диагностический. Это задания на придумывание детьми таких же «ловушек», что позволяет определить, насколько ученик видит «ошибко-опасные» места.
Седьмой блок – методико-диагностический, в котором ребёнок думает над вопросом, как научить других, придумывать задания с «ловушками».
Восьмой блок – это так называемые олимпиадные задачи, к которым относятся задачи, не выходящие за рамки изучаемых понятий по годам обучения, но требующие нестандартных способов решения.
Девятый блок – это задания на придумывание детьми своих олимпиадных заданий по аналогии с данными в восьмом блоке.
Десятый блок – содержит задания, где ребенку предлагается научить других, придумывать олимпиадные задания.
Данная совокупность заданий, предлагаемая в системе, нацелена на формирование компонентов учебной деятельности (осознание учебной задачи, планирование ее выполнения, осуществление самоконтроля и самооценки).
Технологии изучения табличных случаев умножения и
соответствующих им случаев деления
План
1. Характеристика табличного умножения
2. Этапы формирования табличных вычислений
3. Способы запоминания таблиц
4. Особенности изучения материала в различных системах обучения
1. Характеристика табличного умножения
К табличнымотносят случаи умножения однозначных чисел и соответствующие им случаи деления.
Все знают «Таблицу умножения», которая нередко печатают на обложках тетрадей по математике. Там даются случаи умножения однозначного числа, начиная с числа 2 до числа 9, на последовательно увеличивающиеся однозначные числа от 1 до 10. Запомнив эти табличные случаи умножения, мы без труда для каждого случая из таблицы умножения находим результаты трех других, связанных с ним, случаев умножения и деления. Например, зная, что 6*3=18, мы, не особенно задумываясь, можем найти результаты следующих выражений: 3*6, 18:6, 18:3. Происходит это потому, что между этими четырьмя случаями вычислений существует связь, которая обеспечивается математическими положениями (правилами, свойствами действий или связями между производимыми действиями). Рассмотрим эти положения.
Значение 3*6 мы находим, применяя переместительное свойство суммы (Для любых а, в, принадлежащих множеству целых неотрицательных чисел верно равенство а*в=в*а). Значения следующих двух выражений 18:6 и 18: 3 находят, используя связь между действиями умножения и деления. Поскольку деление есть действие обратное умножению, то из равенства а*в=с, вытекают верные равенства: с:а=в и с:в=а. То есть деление – это действие, с помощью которого по известному значению произведения и одному из множителей мы находим другой множитель.
Из названных математических положений вытекают методические особенности изучения табличных случаев умножения и соответствующих им случаев деления.
Изучение табличных случаев умножения и соответствующих им случаев деления предусматривает рассмотрение 4-х столбцов. Первый из них отражает последовательное умножение некоторого числа, например числа 6, на однозначные числа от 2 до 9. Второй - умножение однозначных чисел от 2 до 9 на данное число 6, третий – деление результатов первого столбика на данное число 6 и четвертый – деление результатов первого столбика на однозначные числа от 2 до 9, где в результате получается число 6-ть.
Каждый из этих столбцов в методике обучения математике имеет свое название. Первый столбец – умножение 6- ти, второй – умножение на 6-ть, третий деление на 6-ть, четвертый - деление результатов первого столбика на однозначные числа со значением частного равным 6-ти.
2. Этапы формирования табличных вычислений
Формирование навыка сложный и длительный процесс, который осуществляется по тем же этапам, что и другие виды вычислений: подготовка к восприятию табличных вычислений, восприятие нового материала, осознание и осмысление всех характеристик табличных случаев умножения и соответствующих им случаев деления, закрепление и применение сформированного вычислительного навыка.
Цель перспективной подготовки – обеспечить усвоение теоретических вопросов, являющихся основой вычислительных приемов, которыми учащиеся будут пользоваться при составлении табличных случаев умножения и деления. К этим вопросам следует отнести:
· смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых;
· переместительное свойство умножения;
· распределительное свойство умножения относительно сложения (правило умножения числа на сумму);
· смысл действия деления.
· взаимосвязь между действиями умножения и деления;
· рассмотрение особых случаев умножения и деления ( а*1; а:а; а*10)
На втором этапе дети знакомятся с табличными случаями умножения и соответствующими случаями деления. Составляют соответствующие столбики табличных случаев умножения и деления, опираясь на изученные теоретические положения. Знакомятся с сокращенной формой таблицы умножения (таблица Пифагора) и правилами пользования этой формой таблицы. В разных УМК табличное умножение и деление изучается по своему сценарию. Мы излагаем один из возможных вариантов.
Рассмотрим, как может быть введена таблица умножения и деления с числом 6-ть.
На доске записывается два столбца.
6*2 2*6
6*3 3*6
6*4 4*6
6*5 5*6
6*6 6*6
6*7 7*6
6*8 8*6
6*9 9*6
В процессе диалога устанавливается, что значения первых четырех случаев умножения в первом и втором столбцах можно легко найти, т.к. дети знают таблицу умножения 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти и переместительное свойство умножения.
Значение выражения 6*6 дети могут найти, опираясь на смысл действия умножения. В начальных классах действие умножения трактуется как действие, с помощью которого можно найти значение суммы одинаковых слагаемых. Следовательно, 6*3=6+6+6=18. Для нахождения значения следующих выражений можно использовать распределительное свойство умножения относительно сложения. Например, чтобы найти результат умножения 6*7, можно 7 представить в виде суммы ( 6+1) и число 6 умножить на эту сумму, получим 6*7=6*(6+1)= 6*6+6*1=36+6=42. В этом случае используется распределительное свойство умножения относительно сложения и знание табличных случаев умножения 6*6 и 6*1. Обычно в практике устанавливают закономерность получения каждого следующего результата в таблице умножения, подчеркивая, что каждый следующий результат в таблице умножения увеличивается на первый множитель. (Если 6*7=42, то 6*8=42+6=48).
Далее уточняется, какие случаи умножения 6-ти дети должны запомнить и как знание этих случаев использовать для нахождения случаев умножения на 6-ть и соответствующих случаев деления.
Два следующих столбца деление на 6-ть и деление на однозначные числа со значением частного равным 6-ти дети составляют самостоятельно с последующей проверкой, опираясь на взаимосвязь между действиями умножения и деления.
На третьем этапе осуществляется отработка навыка со всеми присущими ему качествами: правильность, скорость, осознанность, обобщенность, полнота, рациональность, поскольку в соответствии со стандартом табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления должны быть усвоены на уровне сознательного вычислительного навыка.
Под вычислительным навыком будем понимать автоматизированное выполнение учеником вычислительного действия.
Полноценно усвоенные вычислительные навыки характеризуются шестью качествами: правильностью, прочностью, осознанностью, обобщенностью, рациональностью и скоростью (автоматизацией).
Качество правильности проявляется в том, что ученик, верно выбирает и выполняет вычислительные операции входящие в состав действия, что позволяет ему получать верный результат. Наличие такого качества обычно устанавливается в процессе устного опроса или математического диктанта.
Осознанность проявляется в том, что ученик осознает, на основе каких знаний осуществляется переход от одной операции к другой, какое правило определяет порядок выполнения операций. Ученик в любой момент может объяснить, как он вычислял и почему так можно находить значение выражения. Наличие данного качества можно выявить с помощью устного опроса, или специально составленных тестов.
Прочностьвыражается в том, насколько долго удерживается в памяти вычислительный прием и не утрачивается в тот период, когда он практически не используется. Данное качество обычно проверяется в начале нового учебного года, когда учитель дает тот же математический диктант, который проводился в конце предыдущего года. Сравнив результаты можно установить, какие из вычислительных приемов усвоены прочно, а какие требуют доработки или повторения.
Качество обобщенности проявляется в умении переносить известный вычислительный прием в новые условия. Обычно это можно выявить при открытии сходного вычислительного приема в новом числовом концентре.
Рациональностьпроявляется в умении выбирать те способы вычисления, которые быстрее приводят к нахождению результата. Проверить наличие этого качества можно, предложив ученику вычислить значение выражения разными способами и выбрать из них рациональный способ.
Автоматизм (скорость) проявляется в качественном и быстром выполнении вычислительного действия за счет свертывания операций входящих в его состав. Автоматизм (скорость) ВП проверяют с помощью специально организованных математических диктантов «на скорость» и последующим сравнением результатов выполнения работы с нормой.
Наиболее распространенной теорией усвоения, на которую ориентируются существующие технологии обучения, является теория поэтапного формирования умственных действий (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина). В ее основе лежит идея о принципиальной общности внутренней и внешней деятельности человека. Согласно этой идеи, умственное развитие, как и усвоение знаний, навыков и умений, происходит путем интериоризации, т.е. поэтапном переходе внешней материальной деятельности во внутренний умственный план. В результате такого перехода, действия с внешними предметами преобразуются в умственные и интериоризируются. При этом они подвергаются обобщению, вербализуются, сокращаются и становятся готовыми к дальнейшему внутреннему развитию, которое может превышать возможности внешней деятельности.
Последовательность усвоения алгоритма ВП на основе теории поэтапного формирования умственных действий слагается из этапов.
1. Предварительное знакомство с ВП, т.е. с совокупностью операций, которая является ориентировочной основой вычислительного действия (ООД). Знакомство осуществляется с помощью различных видов моделей (материальной, графической, математической) и проговаривается система условий его выполнения.
2. Выполнение действия в материальном или материализованном виде. На данном этапе учащиеся самостоятельно в соответствии с заданием выполняют действие в развернутой материальной (оперируя реальными предметами) или материализованной (преобразовывая модели) форме.
3. Этап внешней речи. Здесь функцию ООД выполняет речь. Учащиеся проговаривают вслух в определенной последовательности ту совокупность операций, которая входит в ВП. При этом в их сознании происходит обобщение, сокращение учебной информации, а алгоритм выполнения действия начинает автоматизироваться.
4. Этап внутренней речи. Обучаемые проговаривают алгоритм выполняемого действия про себя. При этом делается акцент только на наиболее сложные значимые операции, что способствует дальнейшему мысленному свертыванию и обобщению алгоритма.
5. Этап автоматизированного действия. Учащиеся автоматически выполняют вычислительное действие. Это свидетельствует о том, что действие интериоризировалось, т.е. перешло во внутренний план, и необходимость во внешней опоре отпала.
3. Способы запоминания таблиц.
При организации деятельности детей по выработке навыка со всеми присущими ему качествами необходимо соблюдать психологические закономерности заучивания материала, а именно:
1. Давать установку на запоминание, поскольку восприятие материала без установки на заучивание часто вообще не дает никаких результатов.
Данная закономерность у