Вопрос 4. «Теория и технологии изучения нумерации целых неотрицательных и рациональных чисел»

1. Характеристика десятичной системы счисления.

2. Технологии формирования представлений о числе в различных образовательных системах обучения.

3. Технология изучения чисел в концентрах сотня, тысяча и многозначных чисел.

Способ чтения и записи чисел называют нумерацией. Различают два вида нумерации – устную и письменную. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры в записи числа зависит от места (позиции), занимаемого ею в этом числе. В непозиционных системах счисления такой зависимости нет.

Изучение математики в начальных классах строится на изучении десятичной системы счисления, в которой 10 единиц одного разряда дают 1 единицу следующего (разряды нумеруют справа налево). В соответствии с образовательным стандартом предусматривается знакомство детей и с римской нумерацией.

В основу устной нумерации положены следующие принципы.

Принцип поразрядного счета.

С помощью этого принципа число различных слов, нужных для названия чисел отрезка натурального ряда чисел от 1 до 999 сокращается до 13 (это слова один, два, ..., девять, десять, сорок, девяносто, сто).

Чтобы назвать какое-либо число на основании принципа поразрядного счета, нужно назвать слева направо разрядные числа, содержащиеся в этом числе. Например, 457 – четыреста пятьдесят семь (457 равно 400 и еще 50 и еще 7) или 457=400+50+7. Последнюю запись называют суммой разрядных слагаемых.

Чтобы называть числа большие, чем 999 используют еще один принцип: принцип поклассового объединения разрядов.

Согласно этому принципу каждые три разряда, начиная с первого, справа налево объединяются в класс. Каждому классу дается название: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и др. Разрядам, входящим в класс, присваивается название класса: разряд единиц тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч и др. Заметим, что при названии разрядов, входящих в класс единиц, название класса опускается.

Чтобы прочитать число большее трехзначного, достаточно разбить его справа налево на классы, объединяя по три цифры в класс; прочитать число в каждом классе по правилу чтения трехзначных чисел и добавить название класса. Название класса единиц принято не произносить. Если единицы в каком-нибудь классе отсутствуют (этот класс обозначен нулями), то название этого класса опускается. Например, 123 000 506 – сто двадцать три миллиона пятьсот шесть.

Письменная нумерация. В десятичной системе счисления для записи чисел используют десять знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Знаки для записи чисел называют цифрами.

Разряд – место для записи цифр в числе. Каждый разряд имеет свое название. Название разрядов совпадает с названием единиц счета – разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т.д. Кроме того, разрядам дают названия, совпадающие с номером места, занимаемого разрядом в записи числа. Разряды нумеруют справа налево, 1-ый разряд – разряд единиц; 2-ой разряд – разряд десятков; 3-ий разряд – разряд сотен, 4-ый разряд – разряд единиц тысяч и т. д.

Запись чисел ведется на основе принципа поместного значения цифр: значение цифры зависит от места занимаемого этой цифрой в записи числа.

Чтобы записать число триста двадцать один нужно выполнить ряд операций.

1. Определить, сколько разрядов будет в числе. (В числе триста двадцать один первое разрядное число триста или три сотни, значит, старший разряд в числе – разряд сотен и число будет трехзначным).

2. Определить, сколько единиц будет в каждом разряде. Триста – значит в третьем разряде – разряде сотен будет 3 сотни или 3 единицы третьего разряда. Следующее разрядное число двадцать – значит, во втором разряде, в разряде десятков будет 2 единицы второго разряда или 2 сотни и соответственно в первом разряде будет 1 единица первого разряда. Записываем единицы в каждом разряде слева направо.

3. Многозначные числа записывают по классам, начиная с высшего класса. В каждом классе записывается трехзначное число по правилу записи трехзначных чисел. Один класс от другого отделяется небольшим промежутком – 123 654.

В математике существует три подхода к определению понятия «число».

1. Теоретико-множественный. Согласно данному подходу, число – это общее свойство эквивалентных между собой, непустых множеств. (Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие называют эквивалентными между собой и соответственно – равночисленными).

2. При аксиоматическом подходе натуральное число трактуется как элемент множества, на котором установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее четырем аксиомам Пеано и которое называют рядом натуральных чисел. Аксиомы Пеано упорядочивают ряд натуральных чисел.

3. В третьем подходе число вводится через измерение величин, а именно число характеризуется как отношение некоторой величины к его мерке.

В существующих образовательных технологиях в адаптированном к возрасту виде используются все три подхода к трактовке понятия натуральное число, но, как правило, превалирует (выбирается в качестве основного, исходного) первый или третий. Это связано с тем, что эти два подхода могут быть усвоены детьми через освоение доступных для возраста практических операций счета или измерения и логических операций сравнения и выделения общего признака у групп равномощных множеств. Второй подход – аксиоматический – дополняет вышеназванные подходы, поскольку он позволяет упорядочить ряд натуральных чисел и познакомить детей с его свойствами. Без осознания этих свойств, не могут быть усвоены и практические операции по пересчету или измерению.

Рассмотрим содержание и последовательность изучения нумерации в концентре «Десяток».

Дочисловая деятельность направлена на выработку умений: выделять признаки у отдельных предметов и групп предметов, сравнивать предметы и группы предметов по указанному признаку, устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами групп. Кроме того, дети упражняются в последовательном назывании слов числительных от 1 до 10 и обратно. Отработка этих умений позволяет сформировать представление о натуральном числе как общем свойстве равномощных групп предметов (множеств).

После такой подготовки формируется представление о числе как общем свойстве групп предметов, которое может быть зафиксировано в слове (числительном) и с помощью знака – цифры.

Понятие «число» формируется в тесной взаимосвязи с понятием «ряд натуральных чисел».

Ряд натуральных чисел подчиняется правилам, которые отмечены в аксиомах Пеано. Три первых аксиомы задают принцип построения ряда натуральных чисел. В адаптированном к возрасту виде они сводятся к следующим положениям:

– Единица – самое меньшее натуральное число. Ряд натуральных чисел начинается с единицы.

– Ряд натуральных чисел бесконечен. Для каждого числа найдется единственное непосредственно следующее (последующее) число, которое на единицу больше данного.

– Каждое натуральное число непосредственно следует только за одним натуральным числом, т.е. для каждого натурального числа найдется одно непосредственно предшествующее ему, и оно на единицу меньше данного.

Знакомство с числами сопровождается усвоением практического действия по пересчету предметов и установлению количественной характеристики группы (множества) предметов.

Счет – практическое действие по установлению взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком ряда натуральных чисел, при котором:

– каждому элементу данного множества ставится в соответствие единственное натуральное число;

– каждый элемент второго множества является образом единственного элемента первого множества.

Из анализа определения вытекает следующее правило пересчета, с которым дети знакомятся через совокупность целесообразно подобранных заданий.

– Счет предметов начинают с числа 1.

– При счете нельзя пропускать ни одного элемента.

– Каждый элемент при счете надо посчитать только один раз.

Стандарт предусматривает формирование умения сравнивать числа по количественной характеристике, записывать и читать модель их сравнения.

3<4 (читаем: 3 меньше 4-х или 4 больше 3-х)

При уяснении смысла сравнения можно опираться на различные математические положения.

1. На количественную модель сравниваемых чисел.

2. На свойство упорядоченности множества натуральных чисел, т.е. на порядок называния чисел при счете (3<4, потому что 3 называем при счете раньше, чем 4).

3. На свойства ряда натуральных чисел (число 3 стоит в ряду чисел после числа 4, следовательно, 3<4).

4. На закономерность построения числового луча (число 3 на луче расположено ближе к началу, чем 4, следовательно, 3< 4).

5. На состав числа (3<4, т.к. 4 это 3 да 1).

, изучение данной содержательной линии в каждом из следующих концентров: «Числа от 1 до 100», «Числа от 1 до 1000», «Многозначные числа» полезно рассматривать по следующему плану.

1. Введение новой счетной единицы – десяток (сотня, тысяча), ее название, формы графической модели.

2. Запись новой счетной единицы с помощью цифр 1и 0 (10; 100; 1000), введение понятия «разряд» (класс) и название разряда (класса), уяснение роли цифры, в том числе и цифры «ноль» в записи числа. (Цифра ноль в записи числа сохраняет разряд)

3. Знакомство с разрядными числами, входящими в изучаемый числовой концентр. Их название, запись и последовательность расположения в ряду чисел (см. таблицу 1).

4. Установление взаимно однозначного соответствия между различными моделями разрядных чисел (вещественной и символической; графической и символической, символической и графической и т.д.).

5. Сравнение, сложение и вычитание разрядных чисел (50>40; 60-20=40).

6. Образование (двузначного, трехзначного, …. многозначного) числа путем перехода от вещественной модели к графической и обратно, затем к различным формам символической записи чисел:

– через перечень количества счетных единиц (2с. и 3дес. и еще 1ед. или короче: 2с.3дес.1ед.);

– с помощью суммы разрядных слагаемых (200+30+1);

– краткой символической записи числа (231);

7. Чтение и запись этих чисел в разрядной таблице и без нее.

8. Установление взаимно однозначного соответствия между различными моделями чисел (вещественной и символической; графической и символической, символической и графической и т.д.), а также разными формами символической записи чисел.

9. Сравнение чисел. В каждом из концентров дополнительно к изученным правилам сравнения чисел водятся новые правила. Например, в концентре сотня вводится следующее правило сравнения двузначных чисел. «Любое однозначное число меньше любого двузначного. Сравнение двузначных чисел начинаем с единиц старшего разряда – разряда десятков. Из двух двухзначных чисел, то больше, в котором больше единиц в разряде десятков. Если число единиц в разряде десятков одинаково, то сравниваем единицы в следующем меньшем разряде – разряде единиц. То число больше, в котором в разряде единиц будет больше единиц» (85 > 84; 4<14 ).

10. Упражнения на сложение и вычитание, базирующиеся на принципе построения ряда натуральных чисел (230–1, 549+1, 600–1, 599+1.).

При изучении нумерации чисел в каждом концентре учащиеся знакомятся с характеристикой числа. Характеризуя то или иное натуральное число, дети могут пользоваться следующим планом.

1. Прочитать число 735. (Читаю - семьсот тридцать пять.).

2. Представить число в виде суммы разрядных слагаемых (735= 700+30+5).

3. Указать, сколько в нем счетных единиц каждого рода. (В этом числе 7 полных сотен, 75 полных десятков или 735 единиц.).

4. Назвать сколько единиц в каждом разряде числа. (В этом числе в разряде сотен 7 единиц, в разряде десятков 3 единицы и в разряде единиц 5 единиц.).

5. Назвать непосредственно следующее и предшествующее число для данного числа (соседей числа). Для числа 735 непосредственно предыдущим является число 734 и непосредственно следующим – 736.