Перестройкой рабочей частоты
5.1. Описание сигнала с программной перестройкой
рабочей частоты
Сигнал с программной перестройкой рабочей частоты (ППРЧ) представляет собой относительно узкополосный стохастический сигнал с шириной спектра Df2, частота которого случайным образом выбирается из M возможных дискретных значений в полосе Df1=M´Df2. Сигнал излучается на выбранной частоте в интервале времени , а затем рабочая частота так же случайно изменяется – сигнал случайным образом «прыгает» по частотам. Диаграмма изменения рабочих частот показана на рис. 5.1.
Рис. 5.1
На рис. 5.2 показана частотно – временная матрица (ЧВМ) смены рабочих частот сигнала с ППРЧ, соответствующая диаграмме на рис. 5.1.
Рис. 5.2
Характеристики сигналов с ППРЧ существенно зависят от длительности передачи на одной частоте . Обычно используют обратную величину
, (5.1)
называемую скоростью перестройки и измеряемую числом скачков (по частоте) в секунду. Различают медленную ППРЧ с скачков в секунду, быструю ППРЧ с числом скачков 500 – 1000 в секунду и поэлементную ППРЧ, в которой равна длительности одного элементарного информационного символа.
5.2. Назначение сигналов с ППРЧ
Сигналы с ППРЧ предназначены для использования с сетях радиосвязи с большим числом абонентов (рис. 5.3), работающих в общей полосе частот
В сети одновременно работают несколько радиолиний, например FB, CD и EF. Если радиостанции E, B и C расположены на местности близко друг к другу и работают с ШПС в общей полосе частот, то передатчик каждой из них создает мощнуюсистемную помеху для
Рис. 5.2 приемников остальных
радиостанций.
При использовании сигналов с ППРЧ их структура выбирается так, чтобы в любой момент времени радиостанции работали на разных частотах и не создавали помех друг другу при любом местоположении. Такие системы сигналов с ППРЧ называют ортогональными.
На интервале времени передается определенное число информационных элементов. Этот радиосигнал является узкополосным и во время передачи отношение сигнал шум в точке приема должно быть достаточно велико, . Сигнал занимает полосу частот , общий диапазон частот (в котором размещается каналов) равен .
В системе связи обеспечивается синхронная перестройка передатчиков и приемников в соответствии с известными программами перестройки.
Для разведывательного приемника программы перестройки не известны.
5.3. Энергетическое обнаружение сигналов с ППРЧ
Можно реализовать широкополосное обнаружение сигнала с ППРЧ в общей полосе частот . При этом мощность сигнала равна его мощности в узкополосном канале, а мощность шума возрастает в раз, и во столько же раз снижается отношение сигнал/шум,0
. (5.2)
При и получим или -28 дБ. Как видно, отношение сигнал/шум много меньше единицы, что имеет место при энергетическом обнаружении ШПС. Зависимости необходимого для обнаружения ШПС числа отсчетов от отношения сигнал/шум показаны на рис. 3.1.
Практическая реализация алгоритма энергетического обнаружения требует измерения с высокой точностью уровней сигнала и шума, что при малых существенно затрудняет энергетическое обнаружение сигналов с ППРЧ в общей полосе частот. Это обусловлено ростом мощности шума при расширении полосы пропускания разведывательного приемника. (см. подраздел 3.5)
Для обнаружения сигналов с ППРЧ целесообразно использовать отдельный приемник для каждого из частотных каналов. В этом случае приемник ведет обнаружение узкополосного сигнала при достаточно высоком отношении сигнал/шум . Если время излучения на фиксированной частоте достаточно велико, то используемая в данный момент времени частотная позиция будет обнаружена (с задержкой на время обнаружения).
Как видно из графиков на рис. 3.2, для обнаружения требуется (несколько десятков) отсчетов. За это время в
системе связи будет передано примерно столько же информационных символов.
При оценке достоверности обнаружения необходимо учитывать, что за счет большого числа каналов (приемников) резко повышается общая вероятность ложной тревоги ,
, (5.3)
где - вероятность ложной тревоги в одном частотном канале. Для снижения до требуемого уровня необходимо повышать порог принятия решения в алгоритме обнаружения и существенно увеличивать число отсчетов .
Если после обнаружения сигнала необходимо оказать какое-либо воздействие на систему связи (подавить радиопередачу, провести пеленгование и т. д.), длительность должна быть существенно больше времени обнаружения.
Таким образом, для обнаружения сигналов с медленной ППРЧ при высоком отношении сигнал/шум можно использовать - канальный приемник с вынесением решения отдельно по каждой частотной позиции.
Если величина меньше времени обнаружения (достаточно быстрая ППРЧ), то необходимо обрабатывать несколько скачков частоты сигнала. Для этого необходимо сформировать признак наличия сигнала в данном частотном канале (сам по себе он недостаточен для формирования решения о наличии сигнала) и выбирать для обработки на интервале нескольких только те каналы, в которых наблюдается признак присутствия сигнала. В качестве такого признака можно использовать интенсивность отсчетов смеси сигнала и шума.
5.4. Параметрические и непараметрические методы
обнаружения сигналов
В рассмотренных алгоритмах энергетического обнаружения сигнала в смеси с шумом необходимо располагать сведениями об их статистических характеристиках (плотностях вероятностей, корреляционных функциях) и параметрах (например, средних значениях и дисперсиях). Подобные алгоритмы называют параметрическими. Их практическое применение затрудняется из-за отсутствия необходимых априорных сведений (проблема априорной неопределенности).
Неизвестные параметры могут оцениваться аппаратурой обнаружения в процессе обработки сигнала (процедура самообучения) и использоваться в дальнейшем для решения задачи обнаружения сигналов с ППРЧ. Однако алгоритмы самообучения достаточно сложны и малоэффективны при низком отношении сигнал/шум.
Другим направлением является разработка алгоритмов обработки сигналов, инвариантных к некоторым статистическим характеристикам сигналов и помех и их параметрам. Алгоритмы принятия решений, для которых не требуется знания статистических параметров сигналов и помех, называют непараметрическими. На практике широко применяются знаковые и ранговые алгоритмы.
РАНГОВЫЙ АЛГОРИТМ
МНОГОКАНАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
СИГНАЛОВ
6.1. Вводные замечания
В реальных условиях отсутствует достоверная априорная информация о статистических характеристиках и параметрах сигнала и помех. В этом случае необходимо разработать алгоритмы энергетического обнаружения сигнала, свойства которых в максимальной степени инвариантны к априорным сведениям. Подобные подходы широко применяются в статистической теории различения гипотез [2] в виде тестов, основанных на сравнении функций распределения, знаковых и ранговых алгоритмов, причем последние оказываются более мощными. Применительно к задаче многоканального энергетического обнаружения сигналов требуются специализированные ранговые тесты.
6.2. Статистические характеристики рангов
стационарных процессов
Рассмотрим систему связи с числом рабочих каналов M, в каждом из которых действуют статистически одинаковые помехи с одномерным законом распределения вероятностей (плотностью вероятностей ). Стохастический сигнал только в k - м канале складывается с помехой и результирующий процесс имеет распределение вероятностей (плотность вероятностей ).
Разведывательный приемник в дискретные моменты времени с интервалом , - полоса частот канала, формирует независимые дискретные отсчеты наблюдаемых процессов и определяет их модули , - номер канала.
Для каждого элементы ранжируются по уровню сверху вниз, максимальному значению присваивается ранг , следующему по величине ранг 1 и так далее, минимальное значение имеет ранг . В результате множество реализаций процессов во всех анализируемых каналах трансформируется в множество независимых рангов , , , - объем выборки, а значения рангов для любого лежат в пределах от 0 до (M-1).
Определим распределение вероятностей рангов в k-м канале при наличии сигнала. Значение ранга равно , если в канале с сигналом значение отсчета равно , в каналах с шумом значения отсчетов больше , а в остальных каналах меньше . Число вариантов (комбинаций) таких состояний каналов равно числу сочетаний из по . Вероятность того, что к канале с шумом значение отсчета меньше равна . С вероятностью значение отсчета в канале с шумом больше . Тогда можно записать
, (6.1)
Аналогично в j-м канале без сигнала (j¹k), если ранг равен нулю, то в канале с шумом отсчет максимален, а в канале с сигналом и в остальных каналах с шумом значения отсчетов меньше . Тогда для вероятности ранга получим
. (6.2)
При значениях рангов в канале с шумом от 1 до значения отсчетов в канале с сигналом могут быть больше или меньше, чем в канале с шумом. Тогда аналогично предыдущему можно записать
(6.3)
При максимальном ранге в канале с шумом значение модуля отсчета меньше, чем в остальных каналах, тогда получим
(6.4)
Значения рангов в данном канале образуют полную группу событий,
. (6.5)
Из физических соображений очевидно, что при отсутствии сигнала каналы находятся в равных условиях, при этом все значения рангов в каждом из каналов равновероятны,
(6.6)
и вероятности рангов не зависят от вероятностных характеристик помехи.
Этот же результат можно получить из (6.1). Если сигнал отсутствует, то и , тогда
(6.7)
Обозначив , из (6.7) получим
. (6.8)
В [5] приведен интеграл (формула 3.191.3)
, (6.9)
- гамма-функция, тогда из (6.8) получим
. (6.10)
Тот же результат получим из (6.1)-(6.4), проведите расчет самостоятельно.
При наличии сигнала в k-м канале для него повышаются вероятности малых рангов и распределение вероятностей становится тем более неравномерным, чем выше уровень сигнала.
На рис.6.1 показаны зависимости вероятностей рангов в частотном канале при наличии (рис. 6.1а) и отсутствии (рис. 6.1б) сигнала, числе частот и отношении сигнал/шум . Там же пунктиром показаны равномерные распределения вероятностей рангов при отсутствии сигнала с ППРЧ во всех каналах. Присутствие сигнала в частотном канале существенно повышает вероятности малых рангов, что и используется для выявления сигнала с ППРЧ.
Рис. 6.1
На рис.6.1а для R=0 (максимальное значение модуля отсчета xj) и на рис.6.1б для R=1 (следующее за максимальным значение xj), от числа каналов M при гауссовских моделях сигнала и помех и отношении сигнал/помеха .
На рис. 6.2 показаны зависимости тех же вероятностей от числа каналов для значений ранга 0 (рис. 6.2а), 1 (рис. 6.2б), 2 (рис. 6.2в) и 3 (рис. 6.2г) при . Кривая при наличии сигнала в частотном канале показана крупным пунктиром, а при отсутствии сигнала с ППРЧ во всех каналах (равновероятное распределение рангов ) – мелким пунктиром.
Как видно, в канале с сигналом высока вероятность ранга . В канале без сигнала распределение вероятностей рангов при практически равномерно.
Рис. 6.2
Контрастность величин и падает с ростом и числа каналов . Распределение вероятностей весьма неравномерно при больших отношениях сигнал/помеха. Ранги в канале без сигнала распределены практически равномерно.
Среднее значение ранга в k-м канале (с сигналом) равно
. (6.11)
Подставляя (6.1), с учетом равенства
(6.12)
из (6.11) после преобразований получим
. (6.13)
При отсутствии сигнала в k-м канале и тогда из (6.13) получим известный результат
(6.14)
Среднее значение ранга в j-м канале без сигнала (j¹k) равно
. (6.15)
С учетом (6.2) – (6.4) и равенства
(6.16)
из (6.15) получим
. (6.17)
Из (6.17) следует, что
. (6.18)
Как видно, среднее значение ранга в канале без сигнала практически не зависит от распределений вероятностей отсчетов наблюдаемых процессов. Это также свидетельствует о практически равновероятном распределении рангов в рассматриваемом канале.
На рис.6.3 приведены зависимости среднего ранга в канале с сигналом Rk ср и без него Rj ср (пунктир) от отношения сигнал/помеха h2 (в децибелах) для M=10 и M=256. Величина Rj ср практически не зависит от h, что соответствует общему свойству (6.18), а средний ранг в канале с сигналом Rk ср уменьшается с ростом h2, особенно в области h2 > 0 дБ.
Выборочные оценки среднего ранга могут использоваться в качестве решающей статистики в алгоритмах энергетического обнаружения сигнала.
Рис. 6.3.
Определим дисперсии рангов. В канале без сигнала ранги приближенно равновероятны, , тогда средний ранг равен
, (6.19)
что соответствует середине интервала (6.18), а дисперсия определяется выражением
. (6.20)
Для k-го канала при наличии сигнала можно показать, что средний квадрат ранга равен
, (6.21)
а дисперсия определяется выражением
. (6.22)
При отсутствии сигнала в k-м канале Fш(x) = Fс(x) и из (6.21) и (6.22) следует ожидаемая формула (6.20).
На рис.6.4 показаны зависимости среднеквадратического отклонения (СКО) ранга от его среднего значения в канале с сигналом sk и без него sj (пунктирная линия) от отношения сигнал/помеха h (в децибелах) для числа каналов M = 10 и 256.
Как видно, СКО рангов достаточно велико и в области h < 10 дБ можно полагать, что величины sk и sj приближенно равны
. (6.23)
Рис. 6.4.
6.3. Алгоритм принятия решения на основе
среднего риска
Решающее правило энергетического обнаружения сигнала в j-м канале может быть записано в виде
, (6.23)
где - решающая статистика, N - число отсчетов (объем выборки), а C - порог принятия решения. Если выполняется условие (6.23), то принимается решение о наличии, а если не выполняется, то об отсутствии сигнала в j-м канале.
Это решающее правило соответствует известному тесту Вилкоксона, основанному на сумме рангов [2]. Целесообразно исследовать и другие варианты ранговых решающих статистик, например, в виде квадратичных функций рангов (подобно статистикам Муда и Клотца [2]).
Если сигнал может присутствовать только в одном частотном канале, то можно использовать алгоритм обнаружения, в котором выбирается i-й канал, для которого величина минимальна,
. (6.24)
В этом случае не требуется выбирать порог сравнения решающей статистики.
6.4. Свойства решающей статистики
Ранги соседних отсчетов независимы и в канале с сигналом характеризуются средним значением Rk ср (6.13) и СКО sk (6.22), а при отсутствии сигнала средний ранг Rj ср равен (6.17), а СКО sj определяется выражением (6.20).
Решающая статистика Sj является суммой N независимых и одинаково распределенных случайных чисел вида
(6.25)
тогда в соответствии с центральной предельной теоремой [1] при N > 10 можно считать нормально распределенными случайными величинами со средним значением в канале с сигналом
(6.26)
и в канале без сигнала
, (6.27)
и с приближенно одинаковыми дисперсиями s2, равными
, (6.28)
или СКО s вида
. (6.29)
Тогда плотность вероятностей w(S) значений S решающей статистики в канале с сигналом определяется выражением
, (6.30)
а в канале без сигнала соответственно
. (6.31)
На рис.6.55 показаны плотности вероятностей w(S) решающей статистики S для , M=256 и различных N. Сплошная кривая соответствует каналу с сигналом, а пунктирная - без сигнала. При увеличении отношения сигнал/помеха сплошные кривые смещаются влево, а пунктирные не меняются. На рис.6.5 отмечены средние значения рангов и порог C принятия решения.
Рис. 6.5
С ростом объема выборки уменьшается разброс рангов от среднего значения, что позволяет обеспечить требуемую достоверность принимаемых решений.
6.5. Вероятности ошибок
В ходе обнаружения возможны ошибочное обнаружения сигнала в канале с помехой - ложная тревога - с вероятностью и пропуск сигнала при его наличии с вероятностью . Так как сигнал присутствует лишь в одном из каналов, по общая вероятность ложной тревоги (ложное обнаружение хотя бы в одном канале) равна
. (6.32)
Вероятность ложной тревоги в одном канале равна
, (6.33)
а вероятность пропуска сигнала определяется выражением
. (6.34)
С учетом (6.27) из (6.33) следует, что вероятность ложной тревоги не зависит от статистических характеристик наблюдаемых сигналов и помех, то есть предлагаемый алгоритм обнаружения является непараметрическим [2].
Порог решающего правила C удовлетворяет неравенству
. (6.35)
Примем в качестве меры достоверности обнаружения вероятность ошибки P, равную
. (6.36)
Из (6.32) и (6.36) получим
, (6.37)
. (6.38)
Подставляя в (6.37) и (6.38) выражения (6.33) и (6.34), получим систему уравнений вида
(6.39)
определяющую порог C решающего правила (6.23) и требуемый объем выборки N при заданной достоверности. От N зависит СКО s из (6.28), а среднее значение ранга в канале с сигналом зависит от отношения сигнал/помеха .
Решение нелинейной системы уравнений (6.39) требует применения численных методов. Рис.6.6 иллюстрирует методику определения зависимости требуемого объема выборки N от отношения сигнал/помеха h при заданной достоверности P. При выбранном h задаем N и из (6.37) определяем необходимый уровень вероятности ложной тревоги (пунктирная линия на рис.6.6), по кривой (6.33) находим соответствующий порог C, и получаем вероятность пропуска сигнала (точка A). Если больше P, необходимо увеличить N и наоборот. Итерационная процедура завершается, когда с заданной точностью приближается к P.
Рис. 6.6.
На рис.6.7 приведена зависимость необходимого числа измерений N (в логарифмическом масштабе) от отношения сигнал/помеха (в децибелах) при M=256 и . Там же пунктиром показана зависимость для рассмотренного
ранее оптимального параметрического алгоритма обнаружения.
Рис. 6.7.
Как видно, ранговый алгоритм энергетического обнаружения в два - три раза проигрывает оптимальному по необходимому объему выборки N. Аналогичные результаты получены и при других значениях M и P. Однако при этом обеспечивается непараметрический характер процедуры обнаружения и возможность ее практической реализации в условиях априорной неопределенности.
6.6. Нормированные ранговые статистики
Ранговые статистики вида (6.23) целесообразно нормировать к величине
. (6.40)
В этом случае нормированный средний ранг (6.27) в канале без сигнала равен
, (6.41)
а при наличии сигнала из (6.26) получим
. (6.42)
Нормированный средний ранг в канале с сигналом меньше единицы и падает с ростом отношения сигнал/помеха.
Для нормированных рангов при наличии и отсутствии сигнала их дисперсия из (6.28) приближенно равна
, (6.43)
а СКО соответственно
. (6.44)
Полученные результаты свидетельствуют о независимости свойств нормированной ранговой решающей статистики от числа M анализируемых каналов. Теоретический анализ и проектирование обнаружителя целесообразно проводить на основе нормированных по (6.40) рангов.