Система линейных уравнений. Абсолютная погрешность и невязка решения системы линейных уравнений
Система уравнений вида:
(2.1)
или в сокращенной записи:
называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными xi (i=1,...,n). В матричной форме она записывается следующим образом:
(2.2)
где A - квадратная матрица, и - векторы столбцы вида:
Методы Рунге - Кутты второго порядка точности для решения задачи Коши
расчетам формулы метода Рунге-Кутты второго порядка точности имеют следующий вид:
(2.12)
Данный метод является двух этапным. Вначале вычисляется значение k(1), а затем значения k(2).
При a=1 формулы (2.12) дают метод Эйлера-Коши, при a=1/2 - усовершенствованный метод Эйлера.
Экзаменационный билет № 12
Приближение функций. Среднеквадратичное и равномерное приближение
Версия
Аппроксимация состоит в том, что данную функцию f(x) приближенно заменяют (аппроксимируют) некоторой другой функцией, так, чтобы отклонение (x) от f(x) в заданной области [a,b] было минимально возможным, при этом функцию f(x) называют аппроксимируемой, а функцию (x) аппроксимирующей.
При приближении на непрерывном множестве точек отрезка [a,b] аппроксимацию называют непрерывной (или интегральной). Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {xi} i=0,1,... отрезка [a,b], то аппроксимацию называют точечной.
Если аппроксимирующая функция (x) строится для всего отрезка [a,b] на котором задана функция f(x), то говорят о глобальной аппроксимации, если же весь отрезок [a,b] разбит на частичные отрезки и на каждом используется своя аппроксимирующая функция, то говорят о локальной аппроксимации.
Равномерное и среднеквадратичное приближения. Если приближение строится таким образом, что величина отклонения (модуль разности двух функций f(x) и (x)) удовлетворяет условию
(2.2)
то такое приближение (2.2) называют равномерным приближением.
Часто используется среднеквадратичное приближение функции f(x) функцией (x). Здесь стараются получить минимальную величину среднеквадратичного значения модуля разности аппроксимируемой и аппроксимирующей функций на всем отрезке [a,b]:
(2.3)
Первая формула используется при непрерывной аппроксимации, а вторая при дискретной аппроксимации.
Версия
Норма вектора в линейном вещественном пространстве. Норма матрицы в линейном вещественном пространстве
Методы Рунге-Кутты четвертого порядка точности для системы дифференциальных уравнений
метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности.Наиболее известным из методов Рунге-Кутты является классический 4-этапный метод четвертого порядка точности:
(2.13)
Этот метод прост и эффективен, когда отрезок [x0,xn] не очень велик.
метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности для системы из 2-х уравнений.Имеется система из двух дифференциальных уравнений:
Расчетные формулы для вычисления значений функции y(x) и z(x) имеют следующий вид:
(2.15)
где
Экзаменационный билет № 13