Рассмотрим участок 1 до сечения 1.

В опоре А действует сосредоточенная сила R_A = 7,2 кН. На участке 1 поперечная сила остается постоянной: Q₁ = Ra = 7,2 кН (рис. 31.3).

Изгибающий момент в точке А равен нулю, т. к. здесь нет мо­мента внешней пары сил: М_А = 0.

Момент в точке С (граница участка, z = 4м) М_С = Ra * 4; Мс = 7,2 • 4 = 28,8кН • м.

Эпюра очерчивается прямой линией, наклонной к оси Oz (рис. 31.3).

Рассмотрим участок 2 (рис. 31.3). Здесь действует распределен­ная нагрузка интенсивностью q = 4кН/м. При перемещении вдоль оси балки направо распределенная нагрузка суммируется. Эпюра Q₂ — прямая линия, наклонная к оси Oz. Распределенная нагруз­ка направлена вниз (см. Основные правила построения эпюр, п. 4), здесь эпюра изгибающего момента очерчена параболой, обращенной выпуклостью вверх.

Реакция в опоре Ra и распределенная нагрузка направлены в разные стороны. Следовательно, возможна точка, в которой, по пра­вилу 2, Q₂ = 0, а изгибающий момент экстремален.

Для построения эпюры моментов необходимо составить уравне­ние поперечной силы на участке 2 и приравнять величину попереч­ной силы нулю. Из уравнения можно определить координату точки, в которой изгибающий момент экстремален.

Проводим необходимые расчеты, определяем величины попереч­ных сил и изгибающих моментов в характерных точках.

Рассмотрим участок 2, сечение 2 (рис. 31.3).

Уравнение поперечной силы

Откуда:

z₂₀ — координата точки, где изгибающий момент экстремален, т. к. Q₂ = 0.

Уравнение момента на участке 2:

Максимальное значение изгибающего момента на участке 2

Значения поперечной силы и изгибающего момента в точке В: Q_B = RB = 16,8кН; М_В = 0.

Строим эпюру поперечной силы. Первый участок — прямая ли­ния, параллельная оси Oz. В точке С эпюра становится наклонной. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 31.3).

Участок 1 эпюра — прямая линия; Ма = 0; Мс = 28,8 кН*м.

Участок 2 эпюра — парабола с экстремумом в точке z = 5,8 м; М _z ^mах = 35,3кН*м; М_В = 0.

Пример 3. Построить эпюры Q_y и М_х для бал­ки, изображенной на рис. 2.51, а.

Решение

Из условия симметрии очевидно, что

Проводим произвольное сечение I — I на расстоянии z от опоры А балки и рассматриваем левую отсеченную часть. Поперечная сила в произвольном сечении

— поперечная сила изменяется по линейному закону.

Найдем значение Q_v в начале и в конце участка:

Эпюра Q_y показана на рис. 2.51, б.

Изгибающий момент в про­извольном сечении

— изгибающий момент изме­няется но закону квадратной параболы.

Вычислим М_к в начале, посередине и в конце участка:

Эпюра М_х показана на рис. 2.51, е.

Пример 4. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 2.54, а.

Решение

Определим опорные реакции;

откуда

Составим прове­рочное уравнение:

следовательно, реакции определены вер­но.

Балка имеет два участка I, II (рис. 2.54, а). На уча­стке I при измене­нии z от 0 до 1 м Q ^I_y = — Р = — 4 кН по­стоянна; М_x^I = Р_z = — 4z₁ — прямая ли­ния; при z = 0 М_x^I = 0; при z = 2 м М_x^I = — 4_*2= — 8 кН-м.

Для сечения на участке II при изме­нении z от 2 до 10 м

Q^l_y^l = — P+V_A — q(z — 2) = — 4 + 13 — 2 (z — 2) — прямая линия;

M_x" = P_z + V_A (z — 2) — 0,5q (z — 2)² = — 4z + 13 (z — 2) — (z — 2)² — парабола.

Найдем на участке II сечение, соответствующее экстремальному значению изгибающего момента: для этого приравняем нулю значение поперечной силы на этом участке:

откуда z₀ = 6,5 м.

Подставляя в уравнение для М¹¹_х найденное значе­ние z₀, получаем:

приz₀ = 6,5 м М¹¹_х = М_тах = 12,25 кН-м; кроме того, при z = 2 м М¹¹_х = 8 кН-м, Q^ll_y = 9 кН; при z = 10 м М¹¹_х = 0, Q_v = — 7 кН. По этим значениям построе­ны эпюры попереч­ных сил и изгиба­ющих моментов (рис. 2.54, б, в).

Пример 5. Построить эпюры из­гибающих моментов и поперечных сил для балки, изобра­женной на рис. 2.55, а.

Решение

Опреде­ляем опорные реак­ции:

Откуда

Составляем проверочное уравнение:

следовательно, опорные реакции определены верно.

Балка имеет три участка I, II, III (рис. 2.55, а): участок I — z = 0 — 6 м; участок II — z = 6 — 8 м; участок III – 2 = 8 — 10 м.

На участке I при изменении z от 0 до 6 м

-- уравнение прямой линии, наклоненной к оси балки;

-- уравнение параболы.

На участке II при изменении z от 6 до 8 м

-- уравнение прямой, параллельной оси балки;

-- уравнение прямой, наклоненной к оси балки.

На участке III при изменении z от 8 до 10 м

-- уравнение прямой (такой же, как и для участка II);

-- уравнение прямой, наклоненной к оси балки.

Подставляя в уравнения поперечных сил и изгибаю­щих моментов значения абсцисс z, соответствующие гра­ницам участков, получаем величины Q_y и М_х в соответ­ствующих сечениях:

В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, имеется скачок в эпюре изгибающих моментов, равный величине момента пары т = 20 кН-м. Чтобы найти макси­мальное значение изгибающего момента на участке I, приравняем нулю значение поперечной силы на этом участке:

откуда z₀ = 3,2 м.

Подставив это значение г₀ в уравнение для M^l_X, полу­чаем:

Следует иметь в виду, что наибольший изгибающий момент может не совпадать с аналитическим максимумом, как, в частности, оказалось в нашем случае.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов построе­ны на рис. 2.55,б, в.

Заметим, что при определении изгибающих моментов на участке III проще было рассматривать равновесие пра­вой отсеченной части балки.

Пример 6. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 2.56, а.

Решение

Определим опорные реакции:

откуда

Составим проверочное уравнение:

следовательно, реакции вычислены верно.

Балка имеет четыре участка I, II, III, IV (рис. 2.56, а).

Проводим сечение в пределах участка I (0 ≤ z ≤ 1,6 м) и, рассматривая равновесие левой отсеченной части, опреде­ляем аналитические выражения поперечной силы и изги­бающегомомента на этом участке:

Поперечная сила изменяетсяпо линейному закону:

Изгибающий момент М¹_Х изменяется по закону квад­ратной параболы, параболу строим по двум точкам:

Аналогично, проводя сечения на участке II (1,6 м ≤ z ≤ 3,6 м) и рассматривая равновесие левой отсеченной части балки, получаем:

Поперечная сила на участке II, как и на участке I, изменяется по линейному закону:

Изгибающий момент на участке II изменяется по за­кону квадратной параболы:

Проводим сечение на участке III и рассматриваем рав­новесие правой части, отсчитывая абсциссы от точки В (1,8 м < z₁ < 3 м).

К правой отсеченной части балки приложено меньше внешних сил, чем к левой, поэтому составление аналити­ческих выражений для поперечной силы и изгибающего момента будет проще:

Поперечная сила на участке III постоянна. Изгибаю­щий момент изменяется по линейному закону:

Проводя сечение на участке IV, так же рассматриваем равновесие правой отсеченной части (0 ≤ z₁ < 1,8 м):

Эпюра поперечных сил изображается прямой, парал­лельной оси балки, как и на третьем участке. Эпюра из­гибающих моментов имеет вид наклонной прямой:

По полученным данным на рис. 2.56, б, в построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Контрольные вопросы и задания

1. Если эпюра поперечной силы ограничена наклонной прямой, как выглядит эпюра изгибающего момента?

2. Как определить положение экстремального значения изгиба­ющего момента при действии распределенной нагрузки на участке балки?

3. Распределенная нагрузка направлена вверх. Как выглядит парабола, очерчивающая эпюру изгибающих моментов вдоль оси бруса?

4. Определите координату z, в которой поперечная сила равна нулю (рис. 31.4).

5. Определите величину изгибающего момента в точке С (z = = 5 м), используя схему рис. 31.4.

ЛЕКЦИЯ 32