Полярный момент инерции сечения

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произ­ведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:

где р — расстояние дополюса (центра поворота) (рис. 25.1).

Поскольку

получим: полярный момент инерции сечения равен сумме осевых:

Осевые моменты инерции характеризуют сопротивление сече­ния повороту относительно соответствующей оси.

Полярный момент инерция характеризует сопротивление сече­ния повороту вокруг полюса (начала координат). Единицы измере­ния моментов инерции: м⁴; см⁴; мм⁴.

Моменты инерции простейших сечений

Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)

Представим прямоугольник высотой h и шири­ной b в виде сечения, составленного из бесконечно тонких полос. Запишем площадь такой полосы: bdy = dA. Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Оx:

По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные по­лосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента инерции относительно оси Оу, получим:

Очевидно, что при h > Ь сопротивление повороту относительно оси Ох больше, чем относительно Оу.

Для квадрата:

Полярный момент инерции круга

Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем — осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Площадь каждого кольца можно рассчи­тать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца:

Подставим это выражение для площади в формулу для поляр­ного момента инерции:

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:

где d — наружный диаметр кольца; d_BH — внутренний диаметр ко­льца.

Если обозначить

Осевые моменты инерции круга и кольца

Используя известную связь между осевыми и полярным момен­тами инерции, получим:

Моменты инерции относительно параллельных осей

Оси Ох о и Ох параллельны (рис. 25.4).

При параллельном переносе прямоуголь­ной системы осей у_оОх_о в новое положение у_оОх значения моментов инерции J_x, J_y, J_xy заданного сечения меняются. Задается фор­мула перехода без вывода.

здесь J_x — момент инерции относительно оси Ох; Jxо ^— момент инерции относительно оси Охо; А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ох о-

Главные оси и главные моменты инерции

Главные оси — это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и мак­симальный.

Главные центральные моменты инерции рассчитываются отно­сительно главных осей, проходящих через центр тяжести.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).

Решение

1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Ис­пользуем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямо­угольника.

Для круга

Для прямоугольника

Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ. Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:

где А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ох_о.

Момент инерции сечения

Пример 2. Найти главный центральный момент инерции сече­ния относительно оси Ох (рис. 25.6).

Решение

1. Сечение составлено из стандарт­ных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1. Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jox1 = 572 см⁴.

Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox₂ = 757 см⁴.

Площадь А₂ = 18,1см², Jo_y2 = 63,3см⁴.

2. Определяем координату центра тяжести швеллера относи­тельно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят. При этом главные центральные оси поменялись местами.

у₂ = (h₁/2) + d₂ — zo₂, по ГОСТ находим h₁ = 14 см; d₂ = 5 мм; z_o = 1,8 см.

Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу моментов инерции относительно параллельных осей:

В данном случае

Пример 3. Для заданного сечения (рис. 2.45) вычислить главные центральные моменты инерции.

Решение

Сечение имеет две оси симметрии, которые являются его главными центральными осями.

Разбиваем сечение на две про­стейшие фигуры: прямоугольник (I) и два круга (II).

Момент инерции сечения относи­тельно оси х

где

Ось x (центральная ось сечения) не является централь­ной осью круга. Следовательно, момент инерции круга следует вычислять по формуле

где

Подставляя значения J_x^’’, a, F" в формулу, получаем

Тогда

Ось у является центральной для прямоугольника и кругов. Следовательно,

Пример 4. Для заданного сечения (рис.2.46)определить положение главных центральных осей и вы­числить главные центральные моменты инерции.

Решение

Центр тяжести лежит на оси Оу, так как она является осью сим­метрии сечения. Раз­бив сечение на два прямоугольника I (160 x 100) иII(140 x 80) и выбрав вспомогательную ось и, определим коорди­нату центра тяжести v₀ по формуле

Оси Ох и Оу — главные центральные оси сечения (Оу — ось симметрии, ось Ох проходит через центр тя­жести сечения и перпендикулярна к Оу).

Вычислим главные моменты инерции сечения J_x и J_y:

где

здесь

Тогда

Ось Оу является центральной осью для прямоуголь­ников 1 и 11. Следовательно,

Для проверки правильности решения можно разбить сечение на прямоугольники другим способом и вновь произвести расчет. Со­впадение результатов явится подтверждением их правильности.

Пример 5. Вы­числить главные цент­ральные моменты инер­ции сечения (рис. 2.47).

Решение

Сечение имеет две оси симмет­рии, которые и являют­ся его главными цент­ральными осями.

Разбиваем сечение на два прямоугольника с b * h = 140 x 8 и два прокатных швеллера. Для швеллера № 16 из таблицы ГОСТ 8240 – 72 имеем J_X1 = J_x = 747 см⁴; J_y1 = 63_,3 см⁹, F₁ = 18,1см², z₀ = 1,8см.

Вычислим J_x и J_y:

Пример 6. Определить положение главных цент­ральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции заданного сечения (рис. 2.48).

Решение

Заданное сечение разбиваем на прокатные профили: швеллер I и два двутавра II. Геометрические характеристики швеллера и двутавра берем из таблиц прокатной стали ГОСТ 8240—72 и ГОСТ 8239 — 72.

Для швеллера № 20 J_Xl = 113 см⁴ (в таблице J_y); J_y1 = 1520 см⁴ (в таблице J_x); F₁ = 23,4 см²; г₀ = 2,07 см.

Для двутавра №18 J_x2 = 1330 см⁴ (в таблице J_x); Jy₂ = 94,6 см⁴ (в таблице J_y); F₂ = 23,8 см².

Одной из главных осей является ось симметрии Оу, другая главная ось Ох проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно к первой.

Выбираем вспомогательную ось и и определяем ко­ординату v₀:

где v₁ = 180 + 20,7 = 200,7 мм и v₂ = 180/2 = 90 мм. Вычисляем J_x и J_у:

Контрольные вопросы и задания

1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции?

2. Осевые моменты сечения равны соответственно J_x = 2,5 мм⁴ и J_y = 6,5мм. Определите полярный момент сечения.

3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох J_x = 4 см⁴. Определите величину J_p.

4. В каком случае J_x наименьшее (рис. 25.7)?

5. Какая из приведенных формул для определения J_x подойдет для сечения, изображенного на рис. 25.8?

6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной цен­тральной оси J_XQ = 174см⁴; площадь поперечного сечения 10,9 см².

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходя­щей через основание швеллера (рис. 25.9).

7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).

8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох пря­моугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).