Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра

1. Теорема о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема 1.Если Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru сходится равномерно на отрезке Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru то Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказательство. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru сходится равномерно на Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru (из определения равномерной сходимости по Гейне) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru (из теоремы о равномерном пределе последовательности непрерывных функций) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказано.

2. Теорема об интегрируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема 2.Если Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru сходится равномерно на отрезке Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru то Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказательство. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ruсходится равномерно на отрезке Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru (по теореме об интегрируемости собственных интегралов) =

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказано

3. Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема 3.Если

1) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

2) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru сходится;

3) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru сходится равномерно на Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru то

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказательство. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ruсходится равномерно на Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru Доказано.

ЛЕКЦИЯ 11

Гамма и бета-функция Эйлера. Формула Стирлинга

1. Гамма и бета-функция Эйлера

Многие элементарные функции раскладываются в бесконечные произведения, например, Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

С помощью бесконечного произведения можно определять и новые функции, называемые спиральными, например Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru - функцию (гамма-функция):

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

константа Эйлера, Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru . Проверим, что для всех указанных S бесконечное произведение действительно сходится и определяет некоторую функцию. Проверим сходимость следующего ряда:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru сходится Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

Формула Эйлера: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

Доказательство.Имеем

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Сравнивая (*) и (**), получим формулу Эйлера.

Доказано.

Основное функциональное тождество для гамма-функции:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказательство.Рассмотрим отношение Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru . По формуле Эйлера получаем:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказано.

Пусть

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Лемма 1. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказательство.По формуле Эйлера Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказано.

Лемма 2.Для Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказательство. Сделаем замену Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru тогда

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказано.

Теорема. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru(*)

Доказательство.

1. Т.к. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

2. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Из этого представления равенство (*) будет вытекать тогда и только тогда, когда Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

3. Введём вспомогательные неравенства.

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru (неравенство Бернулли).

Докажем это неравенство методом математической индукции.

При Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru равенство очевидно.

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru верно.

4. Докажем, что Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Докажем, что Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru неравенство из 3. при Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Оценим снизу:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Оценка сверху:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Итак,

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и по теореме «о двух милиционерах» Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказано.

Лемма 1. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

(подробно это доказывается в курсе теории функций комплексного переменного)

Формула дополнения для гамма-функции

Лемма 2. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ruнецелого справедливо следующая формула дополнения Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

В частности, при Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказательство.Имеем по формуле Эйлера

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказано.

Задача. Вычислить Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

При Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru бета-функция Эйлера Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru задается равенством:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

Подынтегральная функция имеет, вообще говоря, две особенности: при Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и при Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , поэтому представим интеграл в виде:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

Сравнивая первый интеграл в правой части с интегралом Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , а второй – с Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , которые сходятся соответственно при Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и соответственно расходятся при выполнении неравенств Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , получаем, что областью определения бета-функции в плоскости Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru является прямой угол Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

Из свойств бета-функции Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru укажем следующие:

1) Для любых Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru : Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

2) Для любых Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru :

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

3) Для любых Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теорема. Для Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru справедлива формула

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru . (1)

Замечание. Поскольку гамма - функция Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru определена при всех Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru то формула (1) в теореме 6 позволяет распространить определение функции Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru на все множество вещественных значений Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , за исключением точек Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , где либо величина Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , либо величина Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru равна Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

2. Формула Стирлинга

Изучение эйлеровских интегралов завершаем важ­ной для приложений формулой Стирлинга, дающей приближенное значение для гамма-функции или для функции Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru при больших значениях аргумента.

Теорема(формула Стирлинга). При Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru имеет место равенство:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru ,

где Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , а для величины остатка R выполняются неравенства

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

Отметим, что если воспользоваться соотношением

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru ,

то из теоремы 1 можно получить еще один вариант формулы Стирлинга вида:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

В частности, при Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru отсюда имеем

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Следовательно, справедлива асимптотическая формула

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru ,

которая также называется формулой Стирлинга. Более тщательные вычисления позволяют получить оценку вида Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru для остатка R в асимптотической формуле теоремы. Этот результат был установлен Гауссом. Он же доказал, что величину Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru в асимптотической формуле для Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru можно заменить на Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , где Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru .

ЛЕКЦИЯ 12

Евклидово пространство интегрируемых функций. Ортонормированная система. Задача о наилучшем приближении элемента евклидова пространства по ортонормированной системе. Базисность и замкнутость ортонормированной системы. Ряд и коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля

1. Евклидово пространство интегрируемых функций

Пусть Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru линейное пространство интегрируемых по Риману на отрезке [a, b] функций. В нём можно определить скалярное произведение: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru удовлетворяющее следующим аксиомам скалярного произведения:

1) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru (нулевая функция – функция, принимающая нулевые значения в точках непрерывности и возможно положительные значения в точках разрыва, мера которых равна нулю, т.е. нулевая функция – это не одна, а целый класс функций).

2) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

3) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

4) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Линейное пространство со скалярным произведением называется Евклидовым пространством. Евклидово пространство можно рассматривать как нормированное, в котором норма определяется по правилам: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru Для такого отображения выполнены все аксиомы нормы:

1) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

2) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

3) Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru неравенство треугольника, и оно легко выводится из неравенства Коши-Буняковского Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

В свою очередь неравенство Коши-Буняковского позволяет определить и угол между функциями: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru В частности, Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru Норма позволяет определить расстояние между функциями и сходимость последовательности функций: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru Такую сходимость называют среднеквадратичной сходимостью Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Сравним равномерную сходимость и среднеквадратичную сходимости на отрезке [a, b]. Из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная сходимость:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Обратное неверно.

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru равномерной сходимости нет.

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Пространство Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru является бесконечномерным. В нём линейно-независимую систему, например, образуют функции Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru (система степеней).

Задача. Охарактеризовать мощность пространства Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

2. Ортонормированная система. Задача о наилучшем приближении элемента евклидова пространства по ортонормированной системе

Счётная система функций Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru называется ортогональной, если Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru и ортонормированной, если система ортогональная и нормированная, т.е. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru . Далее будем обозначать ОС – ортогональная система, ОНС – ортонормированная система.

Рассмотрим задачу о наилучшем среднеквадратичном приближении функции по ОНС.

Пусть Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru ОНС. Линейные комбинации вида Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru будем называть полиномами порядка n по этой ОНС. Множество всех таких полиномов порядка n будет образовывать линейное подпространство Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru размерности п, т.е. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru , с базисом Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Задача. Доказать, что ОНС – линейно-независимая система.

Для Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru величина Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru называется величиной наилучшего среднеквадратичного приближения функции f полиномами порядка п по нашей ОНС. Полином Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru называется полиномом наилучшего среднеквадратичного приближения

Теорема. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru причём Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказательство. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ruОНС, Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru Итак, Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru единственен.

Доказано.

3. Ряд и коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Базисность и замкнутость ортонормированной системы

Если Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru ОНС, Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru то функциональный ряд Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru называется рядом Фурье функции f по ортонормированной системе Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru а коэффициенты этого ряда называются коэффициентами Фурье.

Частичные суммы ряда Фурье обладают экстремальным свойством: они являются полиномамими наилучшего среднеквадратичного приближения:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Итак, каждой функции из Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru можно поставить в соответствие её ряд Фурье. Какое отношение этот ряд Фурье имеет к функции?

Когда этот ряд в среднеквадратичном сходится к функции: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru Ответы на эти вопросы зависят от свойств ОНС.

Имеем: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru неравенство Бесселя.

ОНС Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru называется базисом в Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru если Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru её ряд Фурье в среднеквадратичном сходится к ней, т.е. можно записать равенство Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

ОНС Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru называется замкнутой в Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru если множество всех полиномов по система плотно в Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru относительно среднеквадратичной сходимости, т.е.:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

ОНС Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru называется полной в Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru если не существует в Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru ненулевой функции, ортогональной всем функциям системы.

ОНС Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru удовлетворяет равенству Парсеваля, если Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru равна сумме квадратов коэффициентов Фурье, т.е. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теорема.Все четыре условия на ОНС – равносильные.

Мы докажем более слабый вариант теоремы: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru является базисом тогда и только тогда, когда она замкнута. И в случае базиса выполняется неравенство Парсеваля.

Доказательство.Необходимость.

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Достаточность.

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Неравенство Парсеваля: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru

Доказано.

Для ортогональной системы и необязательно нормированной системы ряд Фурье, коэффициенты ряда Фурье и равенство Парсеваля выглядят следующим образом:

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru ряд Фурье, у которого коэффициенты Фурье имеют вид: Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра - student2.ru равенство Парсеваля.

ЛЕКЦИЯ 13

Наши рекомендации