Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра
1. Теорема о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра
Теорема 1.Если сходится равномерно на отрезке то
Доказательство. сходится равномерно на (из определения равномерной сходимости по Гейне) (из теоремы о равномерном пределе последовательности непрерывных функций)
Доказано.
2. Теорема об интегрируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра
Теорема 2.Если сходится равномерно на отрезке то и
Доказательство. сходится равномерно на отрезке
(по теореме об интегрируемости собственных интегралов) =
Доказано
3. Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра
Теорема 3.Если
1)
2) сходится;
3) сходится равномерно на то
Доказательство. сходится равномерно на
Доказано.
ЛЕКЦИЯ 11
Гамма и бета-функция Эйлера. Формула Стирлинга
1. Гамма и бета-функция Эйлера
Многие элементарные функции раскладываются в бесконечные произведения, например, .
С помощью бесконечного произведения можно определять и новые функции, называемые спиральными, например - функцию (гамма-функция):
константа Эйлера, . Проверим, что для всех указанных S бесконечное произведение действительно сходится и определяет некоторую функцию. Проверим сходимость следующего ряда:
.
сходится .
Формула Эйлера: .
Доказательство.Имеем
Сравнивая (*) и (**), получим формулу Эйлера.
Доказано.
Основное функциональное тождество для гамма-функции:
Доказательство.Рассмотрим отношение . По формуле Эйлера получаем:
Доказано.
Пусть
Лемма 1.
Доказательство.По формуле Эйлера
Доказано.
Лемма 2.Для
Доказательство. Сделаем замену тогда
Доказано.
Теорема. (*)
Доказательство.
1. Т.к.
2.
Из этого представления равенство (*) будет вытекать тогда и только тогда, когда
3. Введём вспомогательные неравенства.
(неравенство Бернулли).
Докажем это неравенство методом математической индукции.
При равенство очевидно.
верно.
4. Докажем, что
Докажем, что неравенство из 3. при
Оценим снизу:
Оценка сверху:
Итак,
и по теореме «о двух милиционерах»
Доказано.
Лемма 1.
(подробно это доказывается в курсе теории функций комплексного переменного)
Формула дополнения для гамма-функции
Лемма 2. нецелого справедливо следующая формула дополнения
В частности, при
Доказательство.Имеем по формуле Эйлера
Доказано.
Задача. Вычислить
При и бета-функция Эйлера задается равенством:
.
Подынтегральная функция имеет, вообще говоря, две особенности: при и при , поэтому представим интеграл в виде:
.
Сравнивая первый интеграл в правой части с интегралом , а второй – с , которые сходятся соответственно при и и соответственно расходятся при выполнении неравенств и , получаем, что областью определения бета-функции в плоскости является прямой угол , .
Из свойств бета-функции укажем следующие:
1) Для любых и : .
2) Для любых и :
.
3) Для любых
,
Теорема. Для и справедлива формула
. (1)
Замечание. Поскольку гамма - функция определена при всех то формула (1) в теореме 6 позволяет распространить определение функции на все множество вещественных значений , за исключением точек , где либо величина , либо величина равна .
2. Формула Стирлинга
Изучение эйлеровских интегралов завершаем важной для приложений формулой Стирлинга, дающей приближенное значение для гамма-функции или для функции при больших значениях аргумента.
Теорема(формула Стирлинга). При имеет место равенство:
,
где , а для величины остатка R выполняются неравенства
.
Отметим, что если воспользоваться соотношением
,
то из теоремы 1 можно получить еще один вариант формулы Стирлинга вида:
.
В частности, при отсюда имеем
Следовательно, справедлива асимптотическая формула
,
которая также называется формулой Стирлинга. Более тщательные вычисления позволяют получить оценку вида для остатка R в асимптотической формуле теоремы. Этот результат был установлен Гауссом. Он же доказал, что величину в асимптотической формуле для можно заменить на , где .
ЛЕКЦИЯ 12
Евклидово пространство интегрируемых функций. Ортонормированная система. Задача о наилучшем приближении элемента евклидова пространства по ортонормированной системе. Базисность и замкнутость ортонормированной системы. Ряд и коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
1. Евклидово пространство интегрируемых функций
Пусть линейное пространство интегрируемых по Риману на отрезке [a, b] функций. В нём можно определить скалярное произведение: удовлетворяющее следующим аксиомам скалярного произведения:
1) (нулевая функция – функция, принимающая нулевые значения в точках непрерывности и возможно положительные значения в точках разрыва, мера которых равна нулю, т.е. нулевая функция – это не одна, а целый класс функций).
2)
3)
4)
Линейное пространство со скалярным произведением называется Евклидовым пространством. Евклидово пространство можно рассматривать как нормированное, в котором норма определяется по правилам: Для такого отображения выполнены все аксиомы нормы:
1)
2)
3) неравенство треугольника, и оно легко выводится из неравенства Коши-Буняковского
В свою очередь неравенство Коши-Буняковского позволяет определить и угол между функциями: В частности, Норма позволяет определить расстояние между функциями и сходимость последовательности функций: Такую сходимость называют среднеквадратичной сходимостью
Сравним равномерную сходимость и среднеквадратичную сходимости на отрезке [a, b]. Из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная сходимость:
Обратное неверно.
равномерной сходимости нет.
Пространство является бесконечномерным. В нём линейно-независимую систему, например, образуют функции (система степеней).
Задача. Охарактеризовать мощность пространства
2. Ортонормированная система. Задача о наилучшем приближении элемента евклидова пространства по ортонормированной системе
Счётная система функций называется ортогональной, если и ортонормированной, если система ортогональная и нормированная, т.е. . Далее будем обозначать ОС – ортогональная система, ОНС – ортонормированная система.
Рассмотрим задачу о наилучшем среднеквадратичном приближении функции по ОНС.
Пусть ОНС. Линейные комбинации вида будем называть полиномами порядка n по этой ОНС. Множество всех таких полиномов порядка n будет образовывать линейное подпространство размерности п, т.е. , с базисом
Задача. Доказать, что ОНС – линейно-независимая система.
Для величина называется величиной наилучшего среднеквадратичного приближения функции f полиномами порядка п по нашей ОНС. Полином называется полиномом наилучшего среднеквадратичного приближения
Теорема. причём
Доказательство. ОНС,
Итак, единственен.
Доказано.
3. Ряд и коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Базисность и замкнутость ортонормированной системы
Если ОНС, то функциональный ряд называется рядом Фурье функции f по ортонормированной системе а коэффициенты этого ряда называются коэффициентами Фурье.
Частичные суммы ряда Фурье обладают экстремальным свойством: они являются полиномамими наилучшего среднеквадратичного приближения:
Итак, каждой функции из можно поставить в соответствие её ряд Фурье. Какое отношение этот ряд Фурье имеет к функции?
Когда этот ряд в среднеквадратичном сходится к функции: Ответы на эти вопросы зависят от свойств ОНС.
Имеем:
неравенство Бесселя.
ОНС называется базисом в если её ряд Фурье в среднеквадратичном сходится к ней, т.е. можно записать равенство
ОНС называется замкнутой в если множество всех полиномов по система плотно в относительно среднеквадратичной сходимости, т.е.:
ОНС называется полной в если не существует в ненулевой функции, ортогональной всем функциям системы.
ОНС удовлетворяет равенству Парсеваля, если равна сумме квадратов коэффициентов Фурье, т.е.
Теорема.Все четыре условия на ОНС – равносильные.
Мы докажем более слабый вариант теоремы: является базисом тогда и только тогда, когда она замкнута. И в случае базиса выполняется неравенство Парсеваля.
Доказательство.Необходимость.
Достаточность.
Неравенство Парсеваля:
Доказано.
Для ортогональной системы и необязательно нормированной системы ряд Фурье, коэффициенты ряда Фурье и равенство Парсеваля выглядят следующим образом:
ряд Фурье, у которого коэффициенты Фурье имеют вид: равенство Парсеваля.
ЛЕКЦИЯ 13