Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости

1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru и Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

тогда определена новая функция Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru собственный интеграл, зависящий от параметра у.

Необходимо охарактеризовать свойства функции Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru в зависимости от свойств функции Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

2. Теорема о непрерывности

Теорема 1.Если Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru то Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Доказательство. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru равномерно непрерывна на D и Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru равномерно непрерывна на Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Доказано.

3. Теорема об интегрируемости

Теорема 2.Если Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru то Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru и Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru повторный интеграл.

Доказательство.Пусть Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru Докажем, что Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru (к каждому интегралу применим теорему о среднем: Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru ) =

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Т.к. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru то в силу равномерной непрерывности Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru на D Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru и

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Доказано.

4. Теорема о дифференцируемости

Теорема 3.Если Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Замечание.

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Доказательство.Имеем

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru или Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru или Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru и Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Доказано.

ЛЕКЦИЯ 9

Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши. Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

1. Равномерная сходимость несобственного интеграла,

зависящего от параметра

Пусть

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru несобственный интеграл Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится Тогда определена функция Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru несобственный интеграл, зависящий от параметра. Сходимость несобственного интеграла Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru означает существование предела

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Для определения предела существуют два эквивалентных подхода:

1) определение предела по Коши: Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

2) определение предела по Гейне: Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Определим условие поточечной сходимости интеграла на отрезке Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Дадим определение равномерной сходимости.

Несобственный интеграл Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится равномерно на отрезке Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru (по Коши) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru т.е.

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru (по Гейне) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

2. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса

Критерий Коши:

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится равномерно на отрезке Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса:

если Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru мажоранта функции f по у, Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru и

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится, то Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится на Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru равномерно.

Доказательство. Если Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru (по критерию Коши) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru (по критерию Коши) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится равномерно.

Доказано.

Пример. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится.

Данный интеграл сходится равномерно.

3. Признаки Абеля, Дирихле

Рассмотрим равномерную сходимость интегралов вида Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru (*)

Признак Абеля.

Если

1) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

2) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

3) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится равномерно на отрезке Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

то (*) – сходится равномерно на Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Признак Дирихле.

Если:

1) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru монотонная;

2) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru т.е. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

3) Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

то (*) – сходится равномерно на отрезке Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

4. Интеграл Дирихле

Пример. Доказать, что Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru интеграл Дирихле.

Пусть

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru Необходимо найти Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru .

Покажем, что этот интеграл сходится равномерно Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru Для этого воспользуемся признаком Дирихле:

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru равномерно по y.

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru продифференцируем по х

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Интеграл сходится равномерно для всех у, т.к. интеграл ограничен константой.

Найдем производную Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Далее покажем, что дифференцирование под знаком интеграла возможно, если интеграл от производной сходится равномерно, т.е. равномерно сходится интеграл Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru По признаку Вейерштрасса это выполняется для Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru :

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru сходится.

Итак, для Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости - student2.ru

ЛЕКЦИЯ 10

Наши рекомендации