Теоретические основы проверки гипотезы о равенстве дисперсий

При проверки гипотезы о равенстве дисперсий предполагают, что сравниваемые генеральные совокупности X и Y распределены по нормальному закону. По независимым выборкам объемами n₁ и n₂, извлечённым из этих совокупностей, в соответствии с формулами (3.3) - (3.5) определены статистические оценки дисперсий и :

, (7.1)

(7.2)

По этим дисперсиям при заданном уровне значимости α требуется проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: Н₀: D[X]=D[Y]. Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные дисперсии равны, то различие статистических оценок дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие вычисленных дисперсий результатов контроля деталей, обработанных по двум разным технологиям, оказалось незначимым, то можно сделать вывод, что для имеющихся данных различие в точности обработки по этим технологиям не обнаружено, (относительный принцип«верифицируемости», см. § 7.1). И наоборот, если нулевая гипотеза будет отвергнута, то различие статистических оценок дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, т.е. делается вывод, что, например, точность методов обработки или методов контроля (контрольных приборов) различна. Этот результат уже не может подвергаться сомнению (абсолютный принцип«фальсифицируемости», см. § 7.1).

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы; при этом рассматривают два случая.

1. Конкурирующая гипотеза о превышении первой дисперсии H₁: D[X]>D[Y] (односторонняя гипотеза).

Вычисляется наблюдаемое значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей):

(7.3)

Традиционно по таблице критических точек распределения Фишера по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k₁ = n₁ - - l, k₂ = n₂ -1 (k₁ - число степеней свободы большей дисперсии) определяют критическую точку F_кр (α, k₁, k₂).

Если F_B < F_кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_B > F_кр, нулевую гипотезу отвергают, т. е. делается вывод: первая дисперсия существенно больше второй.

2. Конкурирующая гипотеза H₁: D[X] ≠ D[Y].

В отличие от предыдущей односторонней гипотезы в данном случае критическую точку F_кр(α/2, k₁, k₂) определяют по уровню значимости α/2 (так как критическая область двусторонняя). Если F_B < F_КР, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если F_B > F_КР, нулевую гипотезу отвергают, т. е. делается вывод: дисперсии не равны.

Для измерения значимости рассматриваемого критерия (например, F_B) при отклонении нулевой гипотезы H₀ используется «вероятность значимости» P(F≤f), которая определяет вероятность принадлежности критерия множеству области значимости в предположении, что верна нулевая гипотеза H₀. Результаты опытов согласуются с нулевой гипотезой H₀, когда «вероятность значимости» велика, и не согласуются, когда «вероятность значимости» мала. То есть чем меньше значение «вероятности значимости» P(F≤ f), тем более это свидетельствует против гипотезы H₀. Вероятность значимости для первого случая проверки гипотезы (одностороннего) определяется как , а для второго (двустороннего) случая проверки гипотезы - как .