Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по левой разностной формуле
Таблица 1.1. Численные результаты дифференцирования
| n | z(n) | z(n)-z(n/2) | z(n/2)/(z(n)) |
| -0.000358511984808 | |||
| -0.373112279676952 | -0.37275376769214413 | ||
| -0.552093115284467 | -0.17898083560751471 | 2.0826462588964000 | |
| -0.633414140453275 | -0.081321025168807681 | 2.2009171089024300 | |
| -0.671307996898084 | -0.037893856444809804 | 2.1460213553943600 | |
| -0.689480398507963 | -0.018172401609878319 | 2.0852420752251400 | |
| -0.69836319092666 | -0.0088827924186970497 | 2.0457982977997900 | |
| -0.702752552202192 | -0.0043893612755322442 | 2.0237095698212400 | |
| -0.704934078792892 | -0.0021815265906995895 | 2.0120594881786500 | |
| -0.706021535573751 | -0.0010874567808594193 | 2.0060811878674000 |
Таблица 1.2. Вычисление экстраполированного значения
| Нулевая экстраполяция | Первая экстраполяция | Вторая экстраполяция | Третья экстраполяция |
| -0.000358511984808 | |||
| -0.373112279676952 | -0.49736353557433300 | ||
| -0.552093115284467 | -0.61175339382030500 | -0.62809480214115900 | |
| -0.633414140453275 | -0.66052114884287800 | -0.6674879709889600 | -0.67011418224548000 |
| -0.671307996898084 | -0.68393928237968700 | -0.68728473002780300 | -0.68860451396372500 |
| -0.689480398507963 | -0.69553789711256000 | -0.69719480618719500 | -0.69785547793115400 |
| -0.69836319092666 | -0.70132412173289200 | -0.70215072973598300 | -0.70248124639236000 |
| -0.702752552202192 | -0.70421567262736900 | -0.70462875132658000 | -0.70479395276595400 |
| -0.704934078792892 | -0.70566125432331250 | -0.70586776599398000 | -0.70595036697177200 |
| -0.706021535573751 | -0.70638402116737100 | -0.70648882735769100 | -0.70652857407900800 |
Рисунок 1.1. График полученных результатов в сравнении с точным результатом
Рисунок 1.2. График полученных результатов в сравнении с «эталонным» значением
Рисунок 1.3. Оценка результатов по правилу Рунге
Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по правой разностной формуле
Таблица 1.1. Численные результаты дифференцирования
| n | z(n) | z(n)-z(n/2) | z(n/2)/(z(n)) |
| -0.90041417207315 | |||
| -0.900265755158751 | 0.00014841691439881899 | ||
| -0.826087716941325 | 0.074178038217425968 | 0.0020008201614069500 | |
| -0.771739035556969 | 0.054348681384355446 | 1.3648544238421500000 | |
| -0.740637194905451 | 0.031101840651518109 | 1.7474426029413600000 | |
| -0.724165866423073 | 0.016471328482378311 | 1.8882411752514500000 | |
| -0.715708534283193 | 0.0084573321398799806 | 1.9475797107114400000 | |
| -0.711425550079869 | 0.0042829842033242915 | 1.9746353800035400000 | |
| -0.709270618507429 | 0.0021549315724400664 | 1.9875267772306100000 | |
| -0.708189810528028 | 0.0010808079794009107 | 1.9938153802622800000 |
Таблица 1.2. Вычисление экстраполированного значения
| Нулевая экстраполяция | Первая экстраполяция | Вторая экстраполяция | Третья экстраполяция |
| -0.90041417207315 | |||
| -0.900265755158751 | -0.900216282853951000 | ||
| -0.826087716941325 | -0.801361704202183000 | -0.787239621537645000 | |
| -0.771739035556969 | -0.753622808428850000 | -0.746802966175517000 | -0.744107189151375000 |
| -0.740637194905451 | -0.730269914688278000 | -0.726933787011054000 | -0.725609175066756000 |
| -0.724165866423073 | -0.718675423595614000 | -0.717019067725233000 | -0.716358086439512000 |
| -0.715708534283193 | -0.712889423569900000 | -0.71206285213765500 | -0.711732437765150000 |
| 0.711425550079869 | -0.70999788867876100 | -0.70958481226574100 | -0.709419609607614000 |
| -0.709270618507429 | -0.708552307983282000 | -0.70834579645535700 | -0.708263195401331000 |
| -0.708189810528028 | -0.70782954120156100 | -0.70772628880417200 | -0.70768498829409300 |
Рисунок 1.1. График полученных результатов в сравнении с точным результатом
Рисунок 1.2. График полученных результатов в сравнении с «эталонным» значением
Рисунок 1.3. Оценка результатов по правилу Рунге
Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по центральной разностной формуле
Таблица 1.1. Численные результаты дифференцирования
| n | z(n) | z(n)-z(n/2) | z(n/2)/(z(n)) |
| -0.4503863420289790 | |||
| -0.6366890174178510 | -0.18630267538887200 | ||
| -0.6890904161128960 | -0.05240139869504500 | 3.55529966810769000 | |
| -0.7025765880051220 | -0.01348617189222600 | 3.88556508947149000 | |
| -0.7059725959017680 | -0.00339600789664596 | 3.97118390258913000 | |
| -0.7068231324655180 | -0.00085053656375000 | 3.99278295770497000 | |
| -0.7070358626049240 | -0.00021273013940603 | 3.99819492491654000 | |
| -0.7070890511410300 | -0.00005318853610603 | 3.99954868060222000 | |
| -0.7071023486501600 | -0.00001329750912992 | 3.99988716580921000 | |
| -0.7071056730508890 | -0.00000332440072903 | 3.99997178853915000 |
Таблица 1.2. Вычисление экстраполированного значения
| Нулевая экстраполяция | Первая экстраполяция | Вторая экстраполяция | Третья экстраполяция |
| -0.4503863420289790 | |||
| -0.6366890174178510 | -0.69878990921414200 | ||
| -0.6890904161128960 | -0.70655754901124400 | -0.70766721183940200 | |
| -0.7025765880051220 | -0.70707197863586400 | -0.70714546858223800 | -0.70711068569842700 |
| -0.7059725959017680 | -0.70710459853398300 | -0.70710925851942900 | -0.70710684451524200 |
| -0.7068231324655180 | -0.70710664465343500 | -0.70710693695621300 | -0.70710678218533200 |
| -0.7070358626049240 | -0.70710677265139300 | -0.70710679093681500 | -0.70710678120218900 |
| -0.7070890511410300 | -0.70710678065306500 | -0.70710678179616100 | -0.70710678118678500 |
| -0.7071023486501600 | -0.70710678115320300 | -0.70710678122465200 | -0.70710678118655100 |
| -0.7071056730508890 | -0.70710678118446500 | -0.70710678118893100 | -0.70710678118655000 |
Рисунок 1.1. График полученных результатов в сравнении с точным результатом
Рисунок 1.2. График полученных результатов в сравнении с «эталонным» значением
Рисунок 1.3. Оценка результатов по правилу Рунге
Дифференцирование cos(x) в точке 0.78539816339744828 по второй производной
Таблица 1.1. Численные результаты дифференцирования
| n | z(n) | z(n)-z(n/2) | z(n/2)/(z(n)) |
| -0.5732838599288800 | |||
| -0.6715330897857300 | -0.09824922985685000 | ||
| -0.6980754182340320 | -0.02654232844830200 | 3.70160553352415000 | |
| -0.7048402298277430 | -0.00676481159371101 | 3.92358723973590000 | |
| -0.7065395975273050 | -0.00169936769956203 | 3.98078155507750000 | |
| -0.7070713215402000 | -0.00053172401289503 | 3.19595816316369000 | |
| -0.7069649511360020 | -0.00010637040419800 | -4.9987965816611400 | |
| -0.7070979161417810 | -0.00013296500577897 | -0.7999879635612500 | |
| -0.7071045649181360 | -0.00000664877635503 | 19.9984175551799000 | |
| -0.7071062271271690 | -0.00000166220903297 | 3.99996403770588000 |
Таблица 1.2. Вычисление экстраполированного значения
| Нулевая экстраполяция | Первая экстраполяция | Вторая экстраполяция | Третья экстраполяция |
| -0.5732838599288800 | |||
| -0.6715330897857300 | -0.70428283307134700 | ||
| -0.6980754182340320 | -0.70692286105013300 | -0.70730000790424500 | |
| -0.7048402298277430 | -0.70709516702564700 | -0.70711978216500600 | -0.70710776711572300 |
| -0.7065395975273050 | -0.70710605342715900 | -0.70710760862737500 | -0.70710679705820000 |
| -0.7070713215402000 | -0.70724856287783200 | -0.70726892137078500 | -0.70727967555367900 |
| -0.7069649511360020 | -0.70692949433460300 | -0.70688391311414100 | -0.70685824589703200 |
| -0.7070979161417810 | -0.70714223781037400 | -0.70717262973548400 | -0.70719187751024000 |
| -0.7071045649181360 | -0.70710678117692100 | -0.70710171594357100 | -0.70709698835744300 |
| -0.7071062271271690 | -0.70710678119684700 | -0.70710678119969300 | -0.70710711888343500 |
Рисунок 1.1. График полученных результатов в сравнении с точным результатом
Рисунок 1.2. График полученных результатов в сравнении с «эталонным» значением
Рисунок 1.3. Оценка результатов по правилу Рунге
Заключение
В результате выполненной работы “численное дифференцирование методом левой, правой и центрально-разностной формулами“ были получены следующие результаты. Были вычислены погрешности по методу Ромберга и Эйткена, и получены следующие графики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 2004. -636 с.
2. Самарский А.А. Численные методы математической физики.-М.: Научный мир, 2000.-316с.:
3. Самарский А.А. Задачи и упражнения по численным методам.-М.: Эдиториал УРСС, 2000.-208с
4. Самарский А. А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский , А. П. Михайлов.-2-е изд., испр..-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.-320 с.;
5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. I, II. -М.: Наука, 1987. -600 с.
6. Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб.пособие.-М.: Финансы и статистика, 2001.-256с.
7. Подвальный С. Л. Численные методы и вычислительный эксперимент: учебное пособие для вузов / С. Л. Подвальный, Л. В. Холопкина , Д. В. Попов; УГАТУ; Воронеж. гос. техн. ун-т.-Уфа: УГАТУ, 2005.-224 с.; 21 см.-Библиогр.: с. 220-224 (49 назв.).-ISBN 5-86911-491-8.
8. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ураков А.Р. Линейные некорректные задачи. Верификация численных результатов. Учебное пособие. -Уфа: УГАТУ, 2002. -91 с.
9. Smith D.A., Ford W.F. Acceleration of linear and logarithmic convergence. – SIAM J. Numer. Anal., 1979, v. 16. -P. 223-240.
10. Smith D. A., Ford W. F. Numerical comparisons of non-linear convergence accelerations. – Mathematics of Computation, 1982, v. 38, 158. -P. 481–499.
11. Прудников А. П. Интегралы и ряды. В 3-х т. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.