Орбитальной устойчивости возмущенное движение может значительно отличаться от невозмущенного.

Если даже траектории и близки, но точки М и М' движутся с разными скоростями, то с течением времени расстояние между ними может оказаться большим (рис. 6.16), т.е. если yi − координаты точки

М, а yi′ − M′ , то при наличии орбитальной устойчивости может оказаться, что величины ( yi − yi′) станут большими. В связи с этим вводится понятие устойчивости по Ляпунову.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ

Движение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 можно указать число η =

η(ε) > 0 такое, что из неравенства y0 − y0′ < η(ε) при t = t0 следует неравенство y − y′ < ε для всех t > t0.

Смысл понятия устойчивости по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, если при достаточно малом начальном сдвиге М'0 от М0 точка М' в последующем движении достаточно близка к М

(рис. 6.16). Если же подобрать такое η(ε) нельзя, то движение неустойчиво.

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Под устойчивостью очень часто понимают свойство тела возвращаться в состояние равновесия, из

которого оно предварительно было выведено, например, маятник после затухающих колебаний вернется к положению равновесия (рис. 6.17). Подобное определение можно ввести и для невозмущенного движения.

Если при движении в пространстве точки М и M′ неограниченно сближаются и разности их координат ( yi − yi′)→ 0, то возмущенное движение постепенно возвращается к невозмущенному. Такое движение называется асимптотически устойчивым.

Движение называется асимптотически устойчивым, если можно подобрать такое η, что, если

y0 − y0′ < η , то выполняется условие y − y′ →0 при t → ∞.

Понятие асимптотической устойчивости более узко, чем понятие устойчивости по Ляпунову. Если

движение асимптотически устойчиво, то оно наверняка устойчиво по Ляпунову.

Но обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо. Движение может быть устойчивым по Ляпунову, но не являться

асимптотически устойчивым.

38. Критерий Гурвица и его применение в задачах расчета систем управления.

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА

Гурвиц разработал алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемый из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (6.27) строят сначала главный определитель Гурвица (6.30)

по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от

главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами.

На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули. Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получим определители Гурвица низшего порядка.

Номер определителя определяется номером коэффициента по диагонали. Сам критерий формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно,

чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a0, т.е. при a0 > 0:

Δ1 > 0; Δ2 > 0; Δ3 > 0; ...; Δn > 0. (6.32)

Если раскрыть определитель Гурвица для уравнений первого, второго и третьего порядка, то получатся следующие условия устойчивости:

1) n = 1; a0 s + a1 = 0; условия устойчивости: a0 > 0; a1 > 0.

2) n = 2; a0 s2 + a1 s + a0 = 0; условия устойчивости: a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0.

3) n = 3; a0 s3 + a1 s2 + a2 s + a3 = 0; условия устойчивости: a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0; a3 > 0; a1 a2 – a0 a3

> 0.

Критерий Гурвица обычно применяют при n < 4.

Так как Δn = an Δn–1, то при an > 0 для проверки устойчивости необходимо проверить определители

от Δ1 до Δn–1.

Если an = 0 или Δn–1 = 0 при Δ1 > 0, ..., то система находится на границе устойчивости, причем при an

= 0 − граница апериодической устойчивости (один из корней равен нулю); при an–1 = 0 − граница колебательной устойчивости (имеются два комплексно-сопряженных корня).

По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости.

39. Частотный метод определения областей устойчивости систем управления и его применение в расчетах систем управления.

КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА

Этот частотный критерий, разработанный в 1932 г. американским ученым Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФХ разомкнутой системы.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид