Операции в различных системах счисления

Сложение и вычитание

В системе с основанием p для обозначения нуля и первых p- 1 натуральных чисел служат цифры 0, 1, 2, ..., p - 1.

Сложение любых двух чисел, записанных в системе счисления с основанием p, производится так же, как в десятичной системе, по разрядам, начиная с первого разряда, с использованием правилами сложения данной системы. Складываемые числа подписываются одно за другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли по вертикали. Результат сложения пишется под горизонтальной чертой, проведенной ниже слагаемых чисел.

Если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд.

Вычитание осуществляется по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

При вычитании из меньшего числа большего производится заем из старшего разряда. Если при вычитании занимаем единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде p (основание СС) единиц. При вычитании цифр следующего разряда в этом случае нужно мысленно уменьшить цифру уменьшаемого на единицу.

Умножение и деление

Для выполнения действий умножения и деления в системе с основанием ρ составляется таблица умножения однозначных чисел.

Таблица умножения однозначных чисел

*				·	·	·	p -1
				***	***	***
				***	***	***	p-1
				***	***	***	2(p-1)
***	***	***	***	***	***	***	***
p -1		1(p-1)	2(p-1)	***	***	***	1(p-2)

Умножение двух произвольных чисел в системе с основанием ρ производится так же, как в десятичной системе - "столбиком", то есть множимое умножается на цифру каждого разряда множителя (последовательно) с последующим сложением этих промежуточных результатов.

Деление в системах с основанием ρ производится углом, так же, как в десятичной системе счисления. При этом используется таблица умножения и таблица сложения соответствующей системы. Сложнее дело обстоит, если результат деления не является конечной ρ-ичной дробью (или целым числом). Тогда при осуществлении операции деления обычно требуется выделить непериодическую часть дроби и ее период. Умение выполнять операцию деления в ρ-ичной системе счисления полезно при переводе дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Связь между 2-,8-,16-теричными системами счисления

Перевод целого числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную систему.

Правило: 1. Двоичное число разбить на группы по три (четыре) цифры, справа налево;

2. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех (четырех) цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями;

3. Преобразовать каждую группу в восьмеричную (шестнадцатеричную) цифру.
Пример: Переведем таким способом двоичное число 101001₂ в восьмеричную и шестнадцатеричную:

Двоичные триады 8-ричные цифры

Двоичные тетрады 16-ричные цифры

Ответ: 101001₂ = 51₈, 29₁₆

Перевод целого числа из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему.

Правило: Для того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из трех цифр двоичной системы счисления (триадой, тетрадой).

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно: - двоичная (используются цифры 0, 1);

- восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

- шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: - для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями.

- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

- возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

- двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.