Подпространства линейного пространства. Свойства. Сумма и пересечение подпростанств.

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

Пусть L и M - два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

(6.1)

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства Fпредставляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

(6.2)

Тогда

(6.3)

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

(6.4)

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

(6.5)

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

(6.6)

или

(6.7)

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

(6.8)

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

(6.9)

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

(6.10)

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y - линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

2 .Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

Вектор Х ≠ 0 называют собственным векторомлинейного оператора с матрицей А, если найдется такое числоl, что АХ =lХ.

При этом число lназываютсобственным значениемоператора (матрицы А), соответствующим вектору х.

Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - lЕ)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными. Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - lЕ| = = 0

Это уравнение с неизвестным lназываютхарактеристическим уравнением(характеристическим многочленом) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - lЕ| = = (1 -l)²– 36 = 1 – 2l+l²- 36 =l²– 2l- 35; Д = 4 + 140 = 144; собственные значенияl₁= (2 - 12)/2 = -5;l₂= (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х₂= с, х₁ + (2/3)с = 0; х₁ = -(2/3)с, т.е. Х⁽¹⁾= (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х₂= с₁, х₁ - (2/3)с₁ = 0; х₁ = (2/3)с₁, т.е. Х⁽²⁾= ((2/3)с₁; с₁).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с₁; с₁) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

,

где l_i– собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поясним это на предыдущем примере. Возьмем произвольные ненулевые значения с и с₁, но такие, чтобы векторы Х⁽¹⁾и Х⁽²⁾были линейно независимыми, т.е. образовали бы базис. Например, пусть с = с₁= 3, тогда Х⁽¹⁾ = (-2; 3), Х⁽²⁾ = (2; 3). Убедимся в линейной независимости этих векторов:

= -12 ≠ 0. В этом новом базисе матрица А примет вид А^*= .

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой А^*= С^-1АС. Вначале найдем С^-1.

С^Т= ;

С^-1 = ;

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 11

1. Переход к новому базсу в линейном пространстве. Матрица перехода.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Переход к новому базису

Пурть в пространстве R имеются два базиса: старый e_l, e₂,...e_nи новый e _l^*, e₂^*,...e_n^*. Любой вектор нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Переход от старого базиса к новому можно задать матрицей перехода

Отметим, что коэффициенты размножения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы, а не строки этой матрицы.

Матрица А - неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Следовательно, она имеет обратную матрицу А^-1.

Пусть вектор Х имеет координаты (х_l, х₂,... х_n) относительно старого базиса и координаты (х_l^*, х₂^*,... х_n^*) относительно нового базиса, т.е. Х = x_le_l + x₂e₂ +...+ x_ne_n = x_l^*e_l^* + x₂^*e₂^* +...+ x_n^*e_n^*.

Подставим в это уравнение значения e_l^*, e₂^*,...e_n^*из предыдущей системы:

x_le_l + x₂e₂ +...+ x_ne_n = x_l^*(a₁₁e_l + a₁₂e₂ + … + a_1ne_n) + x₂^*(a₂₁e_l + a₂₂e₂ + … + + a_2ne_n) +...+ x_n^*(a_n1e_l + a_n2e₂ + … + a_nne_n)

0 = e_l( x_l^*a₁₁ + x₂^*a₂₁ + … + x_n^*a_n1 - x_l) + e₂( x_l^*a₁₂ + x₂^*a₂₂ + … + x_n^*a_n2 – x₂) + + … + e_n( x_l^*a_1n + x₂^*a_2n + … + x_n^*a_nn – x_n)

В силу линейной независимости векторов e_l, e₂,...e_nвсе коэффициенты при них в последнем уравнении должны равняться нулю. Отсюда:

или в матричной форме

Умножим обе части на А^-1, получим:

Например, пусть в базисе e_l, e₂, e₃заданы вектора а₁= (1, 1, 0), а₂= (1, -1, 1), а₃= (-3, 5, -6) иb= (4; -4; 5). Показать, что вектора а_l, а₂, а₃тоже образуют базис и выразить в этом базисе векторb.

Покажем, что вектора а_l, а₂, а₃линейно независимы. Для этого убедимся в том, что ранг составленной из них матрицы равен трем:

Отметим, что исходная матрица представляет собой не что иное, как матрицу перехода А. В самом деле, связь между базисами e_l, e₂, e₃и а_l, а₂, а₃можно выразить системой:

Вычислим А^-1.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Т. е. в базисе а_l, а₂, а₃векторb= (0,5; 2; -0,5).

2 Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva