Критерий Коши существования предела функции

Для того чтобы функция f, x X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x₀ конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовала такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для любых x' X U(x₀) и x" X U(x₀) выполнялось бы неравенство | f(x") - f(x')| < .

Предел ф-ции по направлению

Рассмотрим некоторую функцию , заданную во всех точках окрестности точки , кроме, быть может, точки ; пусть - произвольный вектор длины единица и - скаляр. Точки вида образуют выходящий из луч в направлении вектора . Для каждого можно рассматривать функцию

от скалярной переменной , где есть число, зависящее от . Предел этой функции (от одной переменной )

,

если он существует, естественно назвать пределом в точке по направлению вектора .

Непрерывность

Функция непрерывна в точке , если она опред. в некот. окр. точки M_o и

Вопрос 15 Частные производные. Дифференцируемость ф-ций неск. переменных, осн. теоремы, необ. и достат. условие дифф-ти, дифф-ие сложной ф-ции, инвариантность формы 1-ого дифф-ла.

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: , где А₁, А₂, …, А_m – некоторые не зависящие от ∆х₁, ∆х₂, …, ∆х_m числа, а α₁, α₂, …, α_m – бесконечно малые при функции, равные 0 при ∆х₁=∆х₂=…∆х_m=0.

Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен:

Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:

Полный дифференциал функции z=f(x,y) - главная линейная относительно и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у): dz= f_x(x,y)dx+ f_y (x,y)dy

Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f ’x(x,y), f ’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.

Необх. и дост. условие дифференцируемости

Напомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой в точке , если приращение функции представимо в виде

,

где ― некоторое действительное число, зависящее от , а -бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , при .

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование производной

.

Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.

Определение.Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

,(1)

Дифференцирование сложной ф-ции

Пусть задана функция двух переменных и пусть переменные и сами являются непрерывными функциями независимых переменных и : , . (*)

Таким образом,

,

т.е. является сложной функцией переменных и . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам и , не делая непосредственной подстановки. При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Сначала найдем производную . Для этого дадим аргументу приращение , сохраняя значение неизменным. Тогда в силу уравнений (*) получат приращения и .

Но если и получают приращения и , то функция получит приращение , определяемое формулой:

.

Разделим обе части последнего равенства на :

.

Если , то и (в силу непрерывности функций и ). Но тогда и тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при , получим

, , ,

и, следовательно,

. (1)

Аналогично находим производную по переменной :

. (2)

Вывод. Частная производная сложной функции равна сумме произведений частных производных заданной функции по промежуточным аргументам ( и ) на частные производные этих аргументов ( и ) по соответствующей независимой переменной ( и ), где и — некоторые постоянные, зависящие от и ; и — функции от и , стремящиеся к нулю при и , то есть , .

Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции в точке .

Определение.Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.

Инвариантность формы 1-ого диф-ла

Если x_i(t) непрерывно диф-ма на t= t₀(t⁰₁+ t⁰₂ +…+ t⁰_m), а y=f(x); x=(x₁,x₂,…x_n) непрерыв.. диф-ма в т. x₀=(x⁰₁,x⁰₂,…x⁰_n), x^o_i (t_o), то ф-ция y=f(x(t)) диф-ма в точке t_о и справедливо равенство