Достаточные условия существования конечного предела функции

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной: Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru можно взять любое положительное число. Тогда при Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .▲

Теорема 2. Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Док-во. Предположим противное. Пусть Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru и Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Тогда по теореме о связи предела и БМ:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru - БМ при Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ,

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru - БМ при Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Вычитая эти равенства, получим:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ,

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Получено противоречие, доказывающее теорему.▲

Необходимые условия существования конечного предела функции.

Теорема3 (о локальной ограниченности) . Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.

Теорема 4 (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru конечного предела Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Достаточные условия существования конечного предела функции.

Теорема 5 (об арифметике). Если для Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru и Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ;

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Если Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , то существует конечный предел частного:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Док-во. Докажем, например, второе равенство.

Пусть существуют конечные пределы Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru и Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Докажем, что существует конечный предел Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Итак, мы должны доказать, что:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Возьмем произвольное Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Найдем Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru из условия Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , т.е. для этого Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru : Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Найдем Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru из условия Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , т.е. для этого Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru :

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Т.к. для Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru по условию существует конечный предел в т. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru (по теореме о локальной ограниченности), т.е. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru - некоторой константы.

Положим Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Проверим, что это Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru - искомое. Действительно,

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru

В силу произвольности Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru можно считать утверждение доказанным (или можно было искать Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru не по Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , а по Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ). ▲

Теорема 6 (о промежуточной функции). Пусть для функций Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru и Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru существуют конечные пределы в т. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , равные друг другу, и в некоторой окрестности т. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , за исключением самой этой точки, выполняется условие:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Тогда для Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru тоже существует конечный предел в т. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , равный значению пределов функций Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru и Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Теорема 7 (о пределе монотонной ограниченной функции). Если функция монотонно возрастает (убывает) в некоторой окрестности т. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru и ограничена сверху (снизу), то она имеет в этой точке соответствующий односторонний предел.

Вычисление пределов функций.

Теорема об арифметике позволяет не только устанавливать факт существования конечного предела, но и вычислять его.

Пример. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Однако, в ряде случаев теорема об арифметике не может быть применена.

Пример.

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Теорему применять нельзя, хотя

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность. Для вычисления предела необходимо преобразовать функцию тождественным образом так, чтобы теорема об арифметике стала применима (т.е. раскрыть неопределенность).

К неопределенностям относят следующие ситуации:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Пример. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Замечательные пределы.

Теорема 1 (первый замечательный предел). Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Док-во. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть сначала Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Из рисунка видно, что Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ;

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ;

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .Таким образом,

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Разделив обе части этого выражения на

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru >0, получим:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru или Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Переходя в этом неравенстве к пределу при Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , получим: Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

По теореме о промежуточной функции Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

При Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru полученные выводы также будут справедливы (доказать самостоятельно).▲

Следствия. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ; Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ; Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Теорема 2 (второй замечательный предел). Числовая последовательность Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru имеет конечный предел, равный числу е:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , ( Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru )

Следствия. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ; Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Примеры.

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ; Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

К числу е приводят многие задачи из области физики, биологии, ядерной физики, демографии и т.п. Рассмотрим применение второго замечательного предела в экономических расчетах.

Задача о непрерывном начислении процентов.

1. Простые проценты. В банк под проценты положена денежная сумма Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Ежегодная процентная ставка составляет р %. Каков будет размер вклада Q через t лет?

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Через год сумма составит Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ,

Через два года: Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ;

Через t лет:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru - формула простых процентов.

2. Сложные проценты. При использовании сложных процентов начисляются «проценты на проценты», т.е. размер вклада увеличивается ежегодно в одно и то же число раз:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ;

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ;

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru - формула сложных процентов.

Как можно добиться максимального роста положенной на вклад суммы?

Один из возможных способов – воспользоваться услугами банка по начислению процентов не один раз в году, а более.

Если начислять проценты n раз в году, то процент начисления за Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru часть года составит Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru %, а размер вклада за t лет при п ежегодных начислениях составит:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Например, при р=100%:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ;

Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ,

а затем снова открыт в том же банке. Тогда через год сумма будет составлять

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

При ежеквартальном повторении этих операций сумма в конце года составит:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ;

При ежемесячном повторении этих операций:

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru и т.д.

Предположим (абстрактно), что проценты начисляются непрерывно, т.е. Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru . Тогда

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru .

Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru- формула непрерывных процентов.

Таким образом, при Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru в нашем примере Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru , т.е. при непрерывном начислении процентов за год можно получить доход не более 172%, а через два года ( Достаточные условия существования конечного предела функции - student2.ru ) можно увеличить начальный капитал более чем в 7 раз.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов не применяется, но используется в демографических, инвестиционных и др. расчетах.

Наши рекомендации