Комплексная мощность цепи при гармоническом воздействии

Комплексной мощностью цепи называется комплексное число, модуль которого равен полной мощности цепи, а аргумент — фазовому сдвигу между током и напряжением цепи,

.

Переходя от показательной форме записи к тригонометрической, получаем

, (5.3)

то и — вещественная и мнимая составляющие комплексной мощности.

Из полученного выражения следует, что вещественная составляющая комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая составляющая — реактивной мощности двухполюсника.

Если , то реактивная мощность положительна . При этом энергия запасается в цепи в виде энергии магнитного поля индуктивных элементов цепи. Если , реактивная мощность отрицательна . При этом энергия запасается в цепи в виде энергии электрического поля ёмкостных элементов цепи.

Если , то реактивная мощность равна нулю . При этом обмен энергией между источником и цепью отсутствует, что является наиболее оптимальным режимом работы мощных электрических установок.

На комплексной плоскости комплексную мощность можно изобразить в виде вектора, проекции которого на вещественную и мнимую ось равны и соответственно (рис. 5.1, а). Прямоугольник треугольник, образованный вектором и его проекциями называется треугольником мощностей. Поскольку треугольник мощностей цепи подобен треугольнику сопротивлений этой же цепи (рис. 5.1, б), то комплексная мощность и ее составляющие и могут быть выражены через комплексное сопротивление цепи и его составляющие , , :

;

;

.

При этом модуль комплексной мощности может быть определён в виде

.

С учётом (5.3) комплексную мощность цепи можно выразить через комплексные действующие значения напряжения и тока на выводах цепи

,

где — величина, комплексно сопряженная с комплексным действующим значением тока .

Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению комплексного напряжения цепи на комплексно сопряженный ток этой цепи.

В Международной системе единиц все виды мощности (мгновенная, активная, полная, комплексная и реактивная) измеряются в [Дж/сек]. Однако, для того, чтобы подчеркнуть различный физический смысл этих понятий, единицам данных величин присвоены различные названия. Мгновенная и активная мощности выражаются в ваттах [Вт], полная и комплексная мощности — в вольт-амперах [В×А]. Определим комплексную мощность идеализированных пассивных RLC-элементов при гармоническом токе.

Поскольку в сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе , то , и коэффициент мощности . Тогда мощность сопротивления является активной, то есть вещественной величиной.

Так как в ёмкости напряжение отстаёт по фазе от тока на и коэффициент мощности , то комплексная мощность ёмкости является отрицательной мнимой величиной, то есть чисто реактивной,

.

С учётом модуля сопротивления и действующего значения тока ёмкости её реактивная мощность может быть представлена в виде

,

где — максимальное значение энергии, запасаемой в ёмкости.

В индуктивности напряжение опережает ток по фазе и коэффициент мощности равен нулю . В результате, комплексная мощность индуктивности является положительной мнимой величиной индуктивности, то есть чисто реактивной,

.

С учётом модуля сопротивления и действующего значения напряжения индуктивности её реактивная мощность может быть представлена в виде

,

где — максимальное значение энергии, запасаемой в индуктивности.

Из полученных соотношений следует, что, если цепь, содержит одновременно ёмкость и индуктивность, то реактивная мощность на выводах такой цепи будет пропорциональна разности максимальных значений энергии, запасаемой этих реактивных элементах,

.