Вычисление финальных вероятностей
Как показано в [3], вычисление финальных вероятностей нахождения цифровой системы в том или ином состоянии достаточно просто реализуется при известном начальном распределении и заданной матрице перехода.
В этом случае, для описания цифровой системы используется матрица вероятности перехода системы 
из состояния в состояние, величины элементов которой зависят от моментов времени 
. Когда отсутствует зависимость величин вероятностей перехода системы из одного состояния в другое состояние от момента времени , т.е. 
, то такие цепи Маркова называются однородными.
Основной особенностью однородных матриц вероятностей перехода 
является то, что сумма вероятностей в каждой ее строке равна единице. Это объясняется тем, что если количество строк матрицы соответствует количеству состояний, то элементы каждой строки описывают вероятность пребывания соответствующего элемента цифровой системы в том или ином состоянии.
В том случае, когда в рассматриваемой цифровой системе отсутствуют поглощающие состояния, т.е. состояния, при достижении которых (или которого) система перестает изменяться под воздействием соответствующих сигналов, то такие системы описываются цепями Маркова, называемыми эргодическими [3].
Однако полной характеристикой системы, описываемой однородными эргодическими цепями Маркова, является ее описание при помощи финальной матрицы вероятностей 
, которая определяется в виде
,
где 
– вектор-строка начальных состояний цифровой системы; 
– количество шагов, за которое система из первоначального состояния, описываемого , перейдет в финальное состояние, описываемое матрицей .
Как показано в [3], после определенного числа шагов финальное состояние системы полностью определяется величиной 
, т.е.
. (5.2)
Выражение (5.2) показывает, что цифровая система через определенное число шагов «забывает» свое первоначальное состояние и ее финальное состояние полностью зависит от элементов матрицы вероятностей перехода .
Пример 16. Рассмотрим, на числовом примере, как изменяются матрицы перехода и безусловные вероятности состояний с ростом числа в выражении (5.2) [3].
Положим, что нужно определить финальные вероятности цифровой системы.
Для этого воспользуемся соотношением (5.2).
Пусть матрица вероятностей перехода из состояния в состояние задается в виде
Последовательно возводя эту матрицу во вторую, третью, четвертую и пятую степени, получаем
Видно, что после пятой итерации матрица перехода вырождается в матрицу, полностью определяемую матрицей-строкой.
Согласно теореме Маркова [3], финальные вероятности для этого примера равны
,
откуда матрица финальных вероятностей будет
.
Видно, что сумма этих вероятностей равна единице.
Количество шагов перехода цифровой системы из первоначального состояния в финальное состояние равно
.
Аналогичным образом решается задача в п.10.2.8. в [2].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном учебном пособии приводятся теоретические сведения и примеры решения типовых задач, которые наиболее часто встречаются как на практических занятиях, так и при выполнении контрольных работ. Решения всех задач основано на изложенной соответствующей методике. Тем не менее, в некоторых случаях следует либо применять известные методы, позволяющие упрощать полученные уравнения и сводить их к известным решениям, либо требуют, в случае необходимости, обращения к работе [1] для более полной предварительной проработки необходимого теоретического материала. Следует отметить, что задачи в [2] составлены так, чтобы их решения сводились к решению либо простейших, либо они отличаются друг от друга только числовыми данными.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Литюк В.И., Литюк Л.В. Методы цифровой многопроцессорной обработки ансамблей радиосигналов. – М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2007. – 592 с.
2. Литюк В.И. Методические указания к выполнению контрольных работ по курсам «Методы и устройства цифровой обработки сигналов в радиоприемных устройствах» и «Обработка цифровых сигналов». – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. – 21 с.
3. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. – М.: Сов. радио, 1973. – 232 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.............................................................................................3
1. Аналого-цифровое преобразование сигналов............................3
2. Линейные цифровые системы......................................................8
2.1. Линейная и круговая свертки................................................8
2.2. Дискретное преобразование Фурье.....................................15
2.3. Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа.......18
2.4. Определение характеристик цифровых
элементарных ячеек..............................................................20
2.5. Определение характеристик цифровых фильтров.............35
2.6. Определение структур цифровых фильтров
по их разностным уравнениям.............................................39
2.7. Определение характеристик цифровых
линейных цепей по их структурным схемам......................41
3. Расчет параметров цифрового
частотного дискриминатора.......................................................44
4. Цифроаналоговое преобразование сигналов............................48
4.1. Получение непрерывного сигнала из дискретного...........49
4.2. Определение интервала дискретизации..............................51
4.3. Согласованная фильтрация..................................................52
5. Применение аппарата цепей Маркова для
анализа цифровых устройств.....................................................57
5.1. Пуассоновские потоки..........................................................57
5.2. Вычисление финальных вероятностей...............................60
Заключение......................................................................................63
Библиографический список...........................................................63
ДЛЯ ЗАМЕТОК
ДЛЯ ЗАМЕТОК
Литюк Виктор Игнатьевич
СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
По курсу