Непрерывные случайные величины

Задача 14

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.

Решение задач.

1. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

Требуется найти коэффициент а, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до .

Решение:

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством .

2 .Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .

Решение:

Найдем коэффициент А.

Найдем функцию распределения:

1) На участке :

2) На участке

3) На участке

Итого:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .

Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Таблица значений функции

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Таблица значений функции Лапласа

ПРИЛОЖЕНИЕ III

Таблица значений функции Пуассона

Литература

Основная литература

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд 4-е, стер. – М.: Высш. шк., 2008. – 400 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнения и задачах. В 2-х ч. Ч. II: Учеб. пособие для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2007. – 416 с.

3. Гмурман В.Е. Теории вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. Изд 6-е, стер. – М.: Высш. шк., 2008. – 479 с.

4. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. В 2-х частях. Ч. II. Теория вероятностей и математическая статистика. Линейное программирование. –М.: Высшая школа, 2002.

Дополнительная литература

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 2006.

6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. – 5-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 2005. – 576 с.

7. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 2001. – 157 с.