Среднее квадратичное отклонение

Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Математическое ожидание M дискретной случайной величины - это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий .

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

Для описания многих практически важных свойств случайной величины необходимо знание не только ее математического ожидания, но и отклонения возможных ее значений от среднего значения.

Дисперсия случайной величины — мера разброса случайной величины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

.

Принимая во внимание свойства математического ожидания, легко показать что

Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания, а просто отклонение. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания, но как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3. Если x и y независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий.

Средним квадратическим отклонением случайной величины (иногда применяется термин «стандартное отклонение случайной величины») называется число равное .

Среднее квадратическое отклонение, является, как и дисперсия, мерой рассеяния распределения, но измеряется, в отличие от дисперсии, в тех же единицах, которые используют для измерения значений случайной величины.

Решение задач:

1) Дана случайная величина Х:

xi	-3	-2
pi	0,1	0,2	0,05	0,3	0,35

Найти М(х), D(X).

Решение:

.

=9 =2,31.

.

2)Известно, что М(Х)=5, М(Y)=2. Найти математическое ожидание случайной величины Z=6X-2Y+9-XY.

Решение: М(Z)=6М(Х)-2М(Y)+9-M(X)M(Y)=30-4+9-10=25.

Пример: Известно, что D(Х)=5, D(Y)=2. Найти математическое ожидание случайной величины Z=6X-2Y+9.

Решение: D(Z)=6² D(Х)-2² D(Y)+0=180-8=172.

Тема 7.