Обыкновенные дифференциальные уравнения

обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной. (Этим оно отличается от уравнения в частных производных, где неизвестная — это функция нескольких переменных.)

Многие задачи естествознания после соответствующих упрощений сводятся к решению уравнений, содержащих функции одного или нескольких аргументов, сами эти аргументы и производные различных порядков от искомых функций. Такие уравнения называются дифференциальными.

Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального процесса или явления, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса.

В зависимости от того, ставятся ли дополнительные условия в одной или нескольких точках отрезка изменения независимой переменной, задачи решения ОДУ обычно подразделяют на одноточечные (задачи с начальными условиями или задачи Коши) и многоточечные. Среди многоточечных задач наиболее часто на практике встречаются так называемые граничные задачи, когда дополнительные условия ставятся на концах рассматриваемого отрезка. Мы будем рассматривать модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В них неизвестные функции зависят только от одной переменной.

Методы решения ОДУ

В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные функции. Между тем при решении практических задач эти методы оказываются, как правило, либо совсем бесполезными, либо их решение связано с недопустимыми затратами усилий и времени. Для решения прикладных задач созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений, которые условно можно подразделить на три основные группы:

1. Аналитические методы, применение которых даст решение ОДУ в виде аналитической функции (метод Пикара);

2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика (метод Эйлера);

3. Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы (метод Рунге-Кутта).

Классификация

Ур с разделяющимися переменными

Однородные

Приводимые к однородным

В полных дифференциалах

Линейные

Ур Бернулли

Ур Риккати

Методы математической статистики

Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки статистических гипотез.

Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных.

Теория оценивания — раздел математической статистики, решающий задачи оценивания непосредственно не наблюдаемых параметров сигналов или объектов наблюдения на основе наблюдаемых данных. Для решения задач оценивания применяется параметрический и непараметрический подход. Параметрический подход используется, когда известна математическая модель исследуемого объекта и характер возмущений и требуется лишь определить в ней неизвестные параметры. В этом случае используются метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод моментов. Непараметрический подход используется для изучения объектов неизвестной структуры и с неизвестными возмущениями.

Проверка статистических гипотез

Статистическая гипотеза — предположение о виде распределения и свойствах случайной величины, которое можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки.

Различают нулевую и альтернативную гипотезы. Нулевая гипотеза – гипотеза, подлежащая проверке. Альтернативная гипотеза – каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой.

Задачи

систематизировать полученный статистический материал;

2) на основании полученных экспериментальных данных оценить интересующие нас числовые характеристики наблюдаемой случайной величины;

3) определить число опытов, достаточное для получения достоверных результатов при минимальных ошибках измерения.

Одной из задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез.