Методические указания для заочников

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Казанский государственный аграрный университет

Кафедра физики и математики

МАТЕМАТИКА

Методические указания для заочников

К выполнению контрольной работы

Казань 2017

ТЕМА 6. Интегральное исчисление функции одной Переменной

Неопределенный интеграл. Основные понятия

Определение. Неопределенным интегралом от функции называется выражение вида если . Функция называется первообразной для заданной функции .

Например, если , то .

Свойства неопределенного интеграла

1)

2)

3)

4) , где A ≠ 0.

5)

Таблица основных неопределенных интегралов

1. где ( ).

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Методы интегрирования

При интегрировании наиболее часто используются следующие методы.

1) Если то

(1)

где а и b–некоторые постоянные.

2) Подведение под знак дифференциала:

(2)

так как

3) Формула интегрирования по частям:

(3)

Обычно выражение выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За , как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида , где –многочлен от х.

4) Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений двух многочленов и (соответственно й и n й степени): сводится к разложению подынтегральной функции на элементарные, всегда интегрируемые дроби вида:

, (4)

где l и m –целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. При этом в случае неправильной дроби ( ) должна быть предварительно выделена целая часть.

5) Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) является одним из эффективных приемов интегрирования. Его сущность состоит в переходе от переменной х к новой переменой t: . Наиболее целесообразная для данного интеграла замена переменной, т.е. выбор функции , не всегда очевидна. Однако для некоторых часто встречающихся классов функций можно указать такие стандартные подстановки:

где R– символ рациональной функции.

6.5. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

(5)

если и первообразная непрерывна на отрезке .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми
x = a, x = b, y = 0 и частью графика функции взятой со знаком плюс, если , и со знаком минус, если .

6.6. Решение типового задания

Пример 1. Найти .

Решение. Так как то, используя формулы (1), получим

Проверка:

Пример 2. Найти .

Решение. Так как , то по формуле (2) находим

Пример 3. Найти .

Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим , тогда . Используя формулу (3), имеем

.

Пример 4. Найти .

Решение. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (4):

.

Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов :

.

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая х=2 (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, например и при:

Решение этой системы дает: . Таким образом,

.

Пример 5. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Применим метод замены переменной; положим , откуда . Найдем пределы интегрирования по переменой t: при имеем , а при имеем . Переходя в исходном интеграле к новой переменной и применяя формулу Ньютона-Лейбница (5), получаем:

.

Задачи 181-210:

Вычислите неопределенные интегралы:

181. а)	б)	в)
182. а)	б)	в)
183. а)	б)	в)
184. а)	б)	в)
185. а)	б)	в)
186. а)	б)	в)
187. а)	б)	в)
188. а)	б)	в)
189. а)	б)	в)
190. а)	б)	в)
191. а)	б)	в)
192. а)	б)	в)
193. а)	б)	в)
194. а)	б)	в)
195. а)	б)	в)
196. а)	б)	в)
197. а)	б)	в)
198. а)	б)	в)
199. а)	б)	в)
200. а)	б)	в)
201. a)	б)	в)
202. a)	б)	в)
203. a)	б)	в)
204. a)	б)	в)
205. a)	б)	в)
206. a)	б)	в)
207. a)	б)	в)
208. a)	б)	в)
209. a)	б)	в)
210. a)	б)	в)

Задачи 211-240:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями: Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.

211.	226.
212.	227.
213.	228.
214.	229.
215.	230.
216.	231.
217.	232.
218.	233.
219.	234.
220.	235.
211.	236.
222.	237.
223.	238.
224.	239.
225.	240.

Функция нескольких переменных. Основные понятия

Определение. Пусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действительных чисел (x; y), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ставится в соответствии один и только один элемент u из U, то говорят, что на множестве D задана функция f (или отображение) со множеством значений U. При этом пишут , или , или . Множество D называется областью определения функции, а множество U, состоящее из всех чисел вида , где , множеством значений функции. Значение функции в точке называется частным значением функции и обозначается или .

Полный дифференциал

Полным приращением функции в точке называется разность где и произвольные приращения аргументов.

Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде

, где .

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , т.е. .

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. и .

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

.

Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов вычисляется по формуле

.

При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства

.

Экстремум функции

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , т.е. [соответственно ] для всех точек , удовлетворяющих условию , где достаточно малое положительное число.

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

(необходимые условия экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пусть стационарная точка функции . Обозначим

и составим дискриминант Тогда:

а) если то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при

б) если то в точке экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);

в) если то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

7.7. Решение типового задания

Пример 1.Дана функция Найти и .

Решение.

Пример 2. Дана функция Найти dz.

Решение.

Следовательно,

Пример 3. Вычислить приближенно исходя из значения функции при

Решение. Искомое число есть наращенное значение функции z при Найдем значение z при имеем

Находим приращение функции:

Следовательно,

Пример 4. Вычислить приближенно исходя из значения функции при .

Решение. Значение функции z при x=1, y=1 есть

Найдем приращение функции при

=

Следовательно,

Пример 5. Найти

Решение. Здесь

Найдем

Следовательно,

Пример 6. Найти и

Решение. Здесь =

Находим

Тогда

Пример 7. Найти экстремум функции

Решение. Находим частные производные первого порядка: Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

откуда

Находим значения частных производных второго порядка в точке M:

и составляем дискриминант Следовательно, в точке заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке

Пример 8. Найти экстремум функции

Решение. Находим частные производные первого порядка:

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

Отсюда x=21, y=20; стационарная точка

Найдем значения вторых производных в точке M:

Тогда .

Так как A<0, то в точке функция имеет максимум:

Задачи № 241-270:

Найти частные производные первого порядка и :

241.	256.
242.	257.
243.	258.
244.	259.
245.	260.
246.	261.
247.	262.
248.	263.
249.	264.
250.	265.
251.	266.
252.	267.
253.	268.
254.	269.
255.	270.

Задачи № 271-300:

Вычислить приближенное значение функции в точке А.

271. , A(1,94; 3,02)	286. , A(0,98; 0,03)
272. , A(1,98; 3,92)	287. , A(1,04; 0,05)
273. , A(1,06; 2,92)	288. , A(1,96; 1,04)
274. , A(1,94; 1,03)	289. , A(2,02; 0,97)
275. , A(0,98; 2,03)	290. , A(2,03; 3,94)
276. , A(0,05; 1,96)	291. , A(1,98; 1,02)
277. , A(1,03; 0,98)	292. , A(0,05; 2,98)
278. , A(3,96; 1,03)	293. , A(0,96; 1,02)
279. , A(0,05; 2,97)	294. , A(2,04; 1,96)
280. , A(2,02; 2,97)	295. , A(1,97; 1,05)
281. , A(2,06; 1,96)	296. , A(0,02; 2,03)
282. , A(1,98; 3,91)	297. , A(4,03; 0,98)
283. , A(1,99; 0,02)	298. , A(0,97; 2,03)
284. , A(3,05; 1,98)	299. , A(1,03; 0,98)
285. , A(2,04; 3,95)	300. , A(2,04; 0,02)

Задачи № 301-330:

Найти производную от неявной функции, заданной уравнением.

301.	316.
302.	317.
303.	318.
304.	319.
305.	320.
306.	321.
307.	322.
308.	323.
309.	324.
310.	325.
311.	326.
312.	327.
313.	328.
314.	329.
315.	330.

Задачи №331-360:

Найти экстремум функции двух переменных .

331.
332.
333.
334.
335.
336.
337.
338.
339.
340.
341.
342.
343.
344.
345.
346.
347.
348.
349.
350.
351.
352.
353.
354.
355.
356.
357.
358.
359.
360.

Основные понятия

1. Общим решениемдифференциального уравненияпервого порядка называется дифференцируемая функция y= (х,С), которая при любом значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения. Решения, получающиеся из общего решения y=