Глава 7. Функции нескольких переменных

Дифференцирование сложных функций

Пусть для функции n - переменных аргументы являются также функциями переменных :

(12)

Справедлива следующая теорема о дифференцировании сложной функции.

Теорема 8. Если функции дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где , . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем частные производные определяются по формулам

где частные производные вычисляются в точке , а вычисляются в точке .

ƒ Докажем эту теорему для функции двух переменных. Пусть , а .

Пусть и произвольные приращения аргументов и в точке . Им соответствуют приращения функций и в точке . Приращениям и соответствует приращение функции в точке . Так как дифференцируема в точке , то ее приращение может быть записано в виде

, (13)

где и вычисляются в точке , при и . В силу дифференцируемости функций и в точке , получаем

(14)

где вычисляется в точке ; .

Подставим (14) в (13) и перегруппируем слагаемые

.

Заметим, что при , так как и стремятся к нулю при . Это следует из того, что бесконечно малые при и . Но функции и дифференцируемы, а, следовательно, и непрерывны в точке . Поэтому если и , то . Тогда и при .

Так как частные производные вычисляются в точке , то получаем

.

Обозначим

(15)

Тогда

,

а это и означает, что дифференцируема по переменным и , причем

и . <

Следствие. Если , причем , , т.е. , то производная по переменной t вычисляется по формуле

.

Если , то

.

Последнее выражение называетсяформулой полной производной для функции многих переменных.

Примеры. 1) Найти полную производную функции , где , .

Решение.

= .

2) Найти полную производную функции , если , .

Решение.

.

Используя правила дифференцирования сложной функции, получим одно важное свойство дифференциала функции многих переменных.

Если независимые переменные функции , то дифференциал по определению равен:

. (16)

Пусть теперь аргументы есть дифференцируемые функции в некоторой точке функции по переменным , а функция дифференцируема по переменным , . Тогда можно рассматривать как сложную функцию переменных , . Она по предыдущей теореме дифференцируема и имеет место соотношение

, (17)

где определяется по формулам (12). Подставим (12) в (17) и, собирая коэффициенты при , получим

.

Поскольку коэффициент при производной равен дифференциалу функции , то для дифференциала сложной функции получили снова формулу (16).

Таким образом, формула первого дифференциала не зависит от того, являются ли ее аргументы функциями, или они независимыми. Это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Глава 7. Функции нескольких переменных

7.1. Пространство Rⁿ. Множества в линейном пространстве.

Множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы из n действительных чисел , обозначается и называется n-мерным арифметическим пространством,а числоn называется размерностью пространства. Элемент множества называется точкой пространства, или вектором, а числа координатами этой точки. Точка =(0, 0, …0) называется нулевой или началом координат.

Пространство – есть множество действительных чисел, т.е. – числовая прямая; и – есть двумерная координатная геометрическая плоскость и трехмерное координатное геометрическое пространство соответственно. Векторы , , …, называются единичным базисом.

Для двух элементов , множества определяются понятия суммы элементов и произведения элемента на действительное число:

Очевидно, что и в силу этого определения и свойств действительных чисел справедливы равенства:

;

;

) : : ;

;

.

Согласно этим свойствам, пространство называется также линейным (векторным) пространством.

В линейном пространстве определяется скалярное произведение элементов и как действительное число, вычисляемое по следующему правилу:

, (1)

Число называется длиной вектора или нормой . Векторы и называются ортогональными, если . Величина

, )= │ - │ =

называется расстоянием между элементами и .

Если и ненулевые векторы, то углом между ними называется угол , такой, что

.

Легко убедиться, что для любых элементов и действительного числа , выполняются скалярного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , при .

Линейное пространство с определенным в нем по формуле (1) скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пусть точка и . Множество всех точек для которых выполняются неравенства

,

называется n-мерным кубом с ребром и с центром в точке . Например, двумерный куб есть квадрат со стороной с центром в точке .

Множество точек , удовлетворяющих неравенству , называются n-мерным шаром радиуса с центром в точке , который также называют

-окрестностью точкив и обозначают ,

т.е.

.

Таким образом, одномерный шар есть интервал длиной . Двумерный шар

есть круг, для которого выполняется неравенство

.

Определение 1. Множество называется ограниченным, если существует
n - мерный шар, содержащий это множество.

Определение 2. Функция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая значения, принадлежащие , называется последовательностью в пространстве и обозначается , где .

Определение 3. Точка называется пределом последовательности , если для произвольного положительного числа существует натуральное число , такое что для любого числа выполняется неравенство .

Символически это определение записывается следующим образом:

.

Обозначение:

.

Из определения 3 следует, что , при . Такая последовательность называется сходящейся к .

Если последовательность не является сходящейся ни к одной точке, то она называется расходящейся.

Теорема 1. Для того чтобы последовательность сходилась к точке необходимо и достаточно, чтобы для любого номера выполнялось , т.е. чтобы последовательность i - х координат точек сходилась к i - й координате точки .

□ Доказательствоследует из неравенств

. <

Последовательность называется ограниченной, если множество её значений ограничено, т.е.

.

Как и числовая последовательность, сходящаяся последовательность точек ограничена и имеет единственный предел.

Определение 4. Последовательность называется фундаментальной (последовательностью Коши), если для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для произвольных натуральных чисел и , больших , выполняется , т.е.

: .

Теорема 2 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

□ Необходимость. Пусть сходится к точке . Тогда получаем последовательность , сходящуюся к .

В силу критерия Коши для действительных чисел каждая из этих числовых последовательностей фундаментальная. Отсюда для любого произвольного положительного числа найдется такое, что для произвольных положительных и , больших, чем , выполнится . Обозначим . Тогда при имеет место неравенство

.

А это означает, что последовательность фундаментальная.

Достаточность. Пусть – фундаментальная последовательность. Тогда из неравенств

следует, что каждая из числовых последовательностей фундаментальна. В силу критерия Коши для действительных чисел каждая из этих последовательностей сходится: . Следовательно, по теореме 1 последовательность сходится. <

В пространстве существуют различные типы точек и множеств.

• Точка множества называется внутренней точкой этого множества, если существует - окрестность содержащаяся в X: .

• Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой, называется открытым множеством в . Понятно, что пространство является открытым множеством.

• Точка называется точкой прикосновения множества X, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку множества Х.

• Точка называется изолированной точкой множества Х, если существует окрестность этой точки, не содержащая других точек множества Х, отличных от .

• Точка называется предельной точкоймножества Х, если в любой её окрестности содержится хотя бы одна точка множества, отличная от .

• Точка называется граничной точкой множества Х, если любая ее окрестность содержит как точку, принадлежащую множеству Х, так и точку, не принадлежащую множеству Х.

Все граничные точки множества Х называются границей множества Х и обозначают .

Пример.Для множества определить внутренние, предельные, изолированные и граничные точки, а также точки прикосновения.

Решение. Внутренние точки – все точки круга. Точки прикосновения – все точки множества. Изолированная точки . Предельные точки – точки множества . Граничные точки – точки, удовлетворяющие уравнениям: , и .

• Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновения называют замыканием множества Х и обозначают .

• Если и , то число называют расстоянием между множествами X и Y. Диаметром множества Х называют число .

• Непрерывной кривой Г в называется множество точек , координаты которых есть непрерывные функции параметра , заданного на отрезке , т.е. , , …, , где . Число называют параметром, а сами уравнения параметрическими уравнениями кривой.

Например, система уравнений , , …, при и задает прямую в . Если , то эта система задает отрезок прямой.

• Множество называют линейно-связанным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству. Линейно-связанное открытое множество Х называют областью в . Если Х – область, то ее замыкание называют замкнутой областью.

• Множества X и Y называют отделимыми, если ни одно из них не содержит точек прикосновения другого.

• Множество Х называют связанным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделимых множеств.

• Множество Х называют выпуклым, если любые его две точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим этому множеству.

Пример. Опираясь на сформулированные выше определения, можно утверждать, что

– связанное, линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, является областью.

– связанное, линейно-связанное, неоткрытое, невыпуклое множество, не является областью.

– несвязанное, не линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, не является областью.

– несвязанное, не линейно-связанное, открытое множество, не является областью.

– связанное, линейно-связанное, открытое множество, является областью.