Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода

От пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода , где L – кривая, соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.

Проведем две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).

Q

• М • N Рис. 1.

P

Предположим, что , то есть

Тогда , где L – замкнутый контур, состав-ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегриро-вания равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Билет №34. Поверхностный интеграл первого род(по площади поверхности).Приложения(масса материальной поверхности, координаты центра тяжести, моменты, площадь искривленной поверхности).

Рассмотрим незамкнутую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части S₁, S₂,…, S_n. Выберем в каждой части точку M_i и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проек-ции плоскую фигуру с площадью T_i. Назовем ρ наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S.

Определение 12.1. Назовем площадью S поверхностипредел суммы площадей T_i при

:

. (12.1)

Поверхностный интеграл первого рода.

Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S₁, S₂,…, S_п (при этом площадь каждой части тоже обозначим S_п). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части S_i точку M_i (x_i, y_i, z_i) и составим интегральную сумму

. (12.2)

Определение 12.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы (12.2), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек M_i, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функ-ции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

. (12.3)

Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).

Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.

Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 12.2 следует, что равен площади рассматриваемой поверхности S.

Если же считать, что f(M) задает плотность в точке М поверхности S, то масса этой поверхности равна

. (12.4)

Приложение поверхностного интеграла 1-го рода.

1. Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y), можно найти в виде:

(14.21)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

2. Масса поверхности

(14.22)

3. Моменты:

- (14.23)

- статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

- (14.24)

- моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

- (14.25)

- моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

- (14.26)

- момент инерции поверхности относительно начала координат.

4. Координаты центра масс поверхности:

. (14.27)

Билет №35. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода(сведение его к кратному).

Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом, то есть уравне-нием вида z = φ(x, y). При этом из определения площади поверхности следует, что

S_i = , где Δσ_i – площадь проекции S_i на плоскость Оху, а γ_i – угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в точке M_i. Известно, что

,

где (x_i, y_i, z_i) – координаты точки M_i. Cледовательно,

.

Подставляя это выражение в формулу (12.2), получим, что

,

где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху, являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.1).

z

S: z=φ(x,y)

S_i L

O

y

Δσ_i Ω

x

Рис. 1.

При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных по плоской области, которая в пределе при дает двойной интеграл Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла:

(12.5)

Замечание. Уточним еще раз, что в левой части формулы (12.5) стоит поверхностный интеграл, а в правой – двойной.

Билет № 36. Поверхностный интеграл второго рода. Поток векторного поля. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

Поток векторного поля.

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Определение 13.3. Поверхностный интеграл 1-го рода

, (13.1)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а А_п – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Замечание 1. Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.

Замечание 2. Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (13.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).