Определение криволинейного интеграла второго рода

В этом разделе мы познакомимся с еще одним типом криволинейных интегралов.

Начнем с определения ориентированной кривой в пространстве.

Определение 1.Кривую Г, определяемую уравнением

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

будем называть ориентированной кривой, если на ней задан порядок следования точек, а именно, точка Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru следует за точкой Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , если радиус-вектор Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru точки Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru отвечает значению параметра Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru большему, чем значение параметра Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru радиус-вектора Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru точки Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , т.е. Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru .Точка А с радиус-вектором Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru называется началом кривой, а точка В с радиус-вектором Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru – концом кривой (см. рис.1).

ПРИМЕР 1.Для окружности Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru на плоскости OXY (см. рис. 8) радиус-векторы точек в параметрическом виде можно определить выражением:

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru .

Эта кривая – ориентированная: при возрастании параметра Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru от значения Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru ,

отвечающего точке A происходит движение соответствующей точки кривой против часовой стрелки до точки B (для которой Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru ).

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

Рис. 8. К примеру 1.

При построении разбиения Т в этом параграфе будем предполагать, что точки разбиения Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru следуют друг за другом. Обозначим через Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru координаты вектора Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru .Пусть на кривой определены три непрерывные функции: Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru и Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru . Тогда можно считать, что на кривой Г задана вектор-функция Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

Составим три интегральные суммы:

a) Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

б) Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

в) Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

(1)

Теперь можно дать определение криволинейного интеграла второго рода.

Определение 2.Пусть существуют пределы интегральных сумм (1) при бесконечном увеличении числа точек деления и бесконечном уменьшении длин векторов Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , причем эти пределы не зависят ни от способа разбиения кривой Г, ни от выбора точек на дугах:

а) Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

б) Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

в) Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

(2)

Тогда криволинейным интегралом второго рода, или криволинейный интеграл от векторной функции Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru вдоль ориентированной кривой Г, называется сумма интегралов, определенных формулой (2):

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

(3)

(В левой части равенства (3) под интегралом стоит скалярное произведение вектора Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru на вектор Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

Определение 3.Если кривая Г замкнута, то криволинейный интеграл, определяемый формулой (3), называется циркуляцией вектора Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru по контуру Г. Для циркуляции обычно используется обозначение

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

Как и в случае криволинейных интегралов первого рода, верна теорема:

Теорема 1.Если Г – кусочно-гладкая кривая и вектор Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru имеет непрерывные на Г компоненты Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru и Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , то криволинейные интегралы (2) и (3) существуют и определены однозначно.Используя формулу для дифференцирования сложной функции получаем еще одно утверждение:

Теорема 2.Если кривая Г задается векторным уравнением (1)п. 1.1, то интеграл (3) вычисляется по формуле:

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

Аналогичные формулы справедливы для каждого из интегралов (2).

Замечание.Криволинейный интеграл второго рода, в отличие от криволинейного интеграла первого рода, зависит от ориентации кривой.

При изменении ориентации (заданного направления движения по кривой) интегралы (2) – (4)меняют знак. Это связано с тем, что в определении криволинейного интеграла второго рода в интегральных суммах (1) значения координат Δxk, Δyk,Δzkменяютзнак при изменении направления векторов Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru на противоположное. В криволинейном интеграле первого рода изменения знака не происходит, поскольку в соответствующей интегральной сумме (2) из п. 1.1 величины Δsk– длины дуг разбиения, которые не изменяются при изменении направления обхода кривой.

ПРИМЕР 2 .Найти циркуляцию вектора Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru вдоль контура Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru в направлении возрастания параметра t (см. рис. 9).

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

Рис. 9. К примеру 2.

Заметим сначала, что для точек, лежащих на контуре Г справедливы соотношения: Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru и Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , т.е. кривая Г есть замкнутая линия пересечения цилиндра Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru с плоскостью Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru .

Если начать движение по кривой Г от точки A(2, 0, – 1) в которой значение параметра Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru равно 0, то при изменении параметра Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru до значения 2π, точка кривой вернется в исходную точку A .Используя теорему 2, можно записать:

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

ПРИМЕР 3.Найти модуль циркуляции вектора Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru вдоль контура

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru (см. рис. 10).

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

Рис. 10. К примеру 3.

Для точек Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , лежащих на контуре Г, можно записать: Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru откуда, учитывая условие Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , получаем Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru . Поскольку для точек кривой Г выполнено соотношение Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru , на ней можно ввести параметризацию: Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru .

Поскольку в примере требуется найти модуль циркуляции, то направление обхода кривой не имеет значения (при его изменении на противоположный меняется знак всего криволинейного интеграла второго рода, а значит и циркуляции). Примем, что движение по кривой происходит в сторону увеличения параметра Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru . Применяя теорему 2, получим:

Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

откуда модуль циркуляции равен Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru

Замечание.Все определения и утверждения, сформулированные выше для пространственных кривых, справедливы и в случае плоских кривых. В соответствующих формулах нужно лишь убрать третью координату Определение криволинейного интеграла второго рода - student2.ru .

Наши рекомендации