Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств

Цель: Знать методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, уметь применять их при решении соответствующих заданий.

Методические рекомендации

Степени чисел от 0 до 10

n
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru  
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru    
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru      
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru        
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru          
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru          
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru            
Решение квадратных уравнений: Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Если Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru то Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Если Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru то Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Если Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru то корней нет   Формулы сокращенного умножения: Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
Свойства степеней Свойства корней n-ой степени
1. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 2. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 3. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 4. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 5. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 6. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 7. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 8. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 9. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 1. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 2. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 3. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 4. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 5. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 6. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 7. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
                         

Используя предложенные методические рекомендации и методические рекомендации к самостоятельной работе №9, выполните задания:

1 вариант 2 вариант
1. Решить уравнения: а) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; б) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; в) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; г) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; д) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . 1. Решить уравнения: а) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; б) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; в) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; г) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; д) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .
2. Решить неравенства: а) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; б) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; в) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; г) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . 2. Решить неравенства: а) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; б) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; в) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; г) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .

Самостоятельная работа № 9.

Решение тригонометрических уравнений повышенной сложности

Цель: Знать методы решения тригонометрических уравнений, формулы для нахождения корней, уметь использовать полученные знания при решении уравнений повышенной сложности.

Методические рекомендации

I. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение Формулы решения Частные случаи
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru при Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru при Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru - решений нет Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru при Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru при Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru - решений нет Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru - любое число Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru -
Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru - любое число Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru -

II. Тригонометрические уравнения.

Уравнение Способ решения Формулы
1. Уравнение содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы) вида Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru и т.д. Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса) Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
2. Однородное уравнение I степени вида Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Деление обеих частей на Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . Получаем: Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
3. Однородное уравнение II степени вида Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Деление обеих частей на Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . Получаем: Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
4. Уравнение вида Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

III. Основные тригонометрические тождества.

1. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

2. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

3. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

4. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru и Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

5. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

6. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

IV. Формулы сложения.

1. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

2. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

3. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

4. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

5. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

6. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

V. Формулы двойного и половинного аргументов.

1. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

2. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ; Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

3. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

4. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

5. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

6. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

VI. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.

1. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

2. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

3. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

4. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

5. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

Значения тригонометрических функций

град 00 300 450 600 900
радиан Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
sin Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
cos Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
tg Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru не существ
ctg Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Не существ Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

Используя методические рекомендации, решите уравнения:

1. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ;

2. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ;

3. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ;

4. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ;

5. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ;

6. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .

Подсказки.

1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru и Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .

2. Обозначьте Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .

3. Сгруппируйте 1-ое и 3-е слагаемые, примените разложение на множители.

4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru и Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , формулой понижения степени Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .

5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

6. Приведите дроби к общему знаменателю, а затем используйте основное тригонометрическое тождество Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , сведите уравнение к квадратному

Самостоятельная работа № 10.

Решение прикладных задач

Цель: Уметь применять определение производной и ее механический смысл к решению прикладных задач.

Методические рекомендации

Физический смысл первой производной.

Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость движения Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru в момент времени t есть производная пути по времени, т.е.

Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

Физический смысл второй производной.

Ускорение прямолинейного движения в данный момент времени есть первая производная скорости по времени или вторая производная пути по времени.

Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

Пример.

1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением

Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .

В какой момент времени ускорение движения точки будет равно 24 м/с2?

Решение.

а) Найдем скорость движения точки по формуле: Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

б) Найти ускорение движения точки по формуле: Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

в) Из условия Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru м/с2, найти момент времени:

Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru c

Ответ: 6 с.

v Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.

Правила.

1. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 4. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
2. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 5. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
3. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 6. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru

Производные основных элементарных функций.

1. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 8. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
2. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 9. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
3. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 10. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
4. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 11. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
5. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 12. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
6. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru 13. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru
7. Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru  

Используя методические рекомендации, выполните задания:

1 вариант 2 вариант
1. Тело движется вверх по закону Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru с начальной скоростью Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . Через сколько секунд скорость станет равной Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru ? 1. Тело движется вверх по закону Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru с начальной скоростью Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . Через сколько секунд скорость станет равной Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .
2. Найдите силу, действующую на тело массой Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , движущееся по закону Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru в момент времени Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . 2. Тело массой Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru движется по прямой согласно уравнению Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . Найдите действующую на него силу в момент времени Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .
3. Определить кинетическую энергию точки, массой Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , движущейся по закону Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru в момент времени Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . 3. Определить кинетическую энергию точки, массой Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru , движущейся по закону Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru в момент времени Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .
4.Точка движется по прямой по закону Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . Найти ускорение точки в момент времени Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . 4. Точка движется по прямой по закону Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru . Найти ускорение точки в момент времени Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств - student2.ru .

.

Самостоятельная работа № 11.

Наши рекомендации