Решение кубических уравнений
Первый толчок в этом направлении сообщила задача Архимеда о делении данного шара плоскостью на два сегмента с данным отношением объемов. Решения, найденные Архимедом и его приемниками, остались арабам неизвестными. Первый шаг сделал ал-Махани, выразивший задачу уравнением типа х³+r=px². Вслед затем несколько ученых Х в.- ал-Хазин, Ибн ал-Хайсам и другие - дали геометричское построение величины x, представив ее как абсциссу точки пересечений. Этот геометрический метод приобрел основное значение в алгебре стран ислама.
На протяжении Х в. уравнениями высших степеней с числовыми или же производными коэффициентами был выражен целый ряд геометрических и физических задач: построение сторон вписанных в данный круг правильных девяти- и семиугольников, построение сегмента шара по данным объему и площади поверхности, задача о трисекции данного угла и др. Все эти части сводятся к уравнениям третьей степени. Трисекции угла посвящен трактат Сабита ибн Корры " Деление прямолинейного угла на три равные части". Ибн Корра, следуя Архимеду, сводит эту задачу к построению с помощью "вставки ".
Уравнения четвертой степени впервые появились в "Книги оптики" Абу Али ибн ал-Хайсама(965-1039). Уроженец Басры в Ираке, Ибн ал-Хайсам работал главным образом в Каире; ему принадлежит много трудов по математике и астрономии. Латинский перевод его "Книги оптики" оказал большое влияние на развитие этой науки в Европе. К уравнению четвертой степени сводятся задача Ибн ал-Хайсама об определении места светящийся точки от цилиндрического зеркала по данном положениям точки и глаза. Каирский ученый решил её с помощью пересечения окружности и гиперболы.
В построении кубических уравнений были достигнуты столь значительные успехи, что вскоре стало возможным создание обобщающей их теории. Наиболее удачное изложение ее дал Омар Хайям в "Трактате о доказательствах задач алгебры"(1074). Предметом алгебры Хайям объявляет неизвестное число или неизвестную величину, отнесенные к другим известным числам или величинам. Такое отнесение осуществляется в виде уравнения, т.е. приравнивания одних степеней другим. Тем самым алгебра рассматривается как наука об уравнениях, которые мы теперь называем алгебраическими
Главное содержание трактата составляет классификация уравнений, подбор соответствующих каждому классу пар конических сечений и определение возможного числа и границ положительных корней, т.е. как говорят теперь, отделение корней. Уравнения исследуютсятся в общем виде,т.е. коэффиценты их прнедпологаются произвольными положительными величинами.
Всего Хайям различает 14 канонических классов. Для каждого из них он указывает требуемые канонические сочетания- параболы, равносторонние гиперболы и окружности, абсцессы точек пересечения которые выражают корни уравнения, и анализирует условия возможности положительных корней. Геометрическая теория кубических уравнений привлекла внимание математиков стран ислама и позднее, а ал-Каши распространил ее
уравнения четвертой степени. Мы не знаем, однако, изложил ли он свои результаты, мельком упоминавшие в “Ключе арифметики”, в специальном сочинении. Впоследствии геометрическое построение корней уравнений явилось предметом изучения европейских математиков Нового времени-Декарта и многих других. Мы отмечали риторический характер арабской алгебры. Только в мавританских государствах были сделаны первые шаги к созданию алгебраической символики, которые мы знаем по труду “Снятие покрывала с науки губар ” ал-Каласади . Символика ал-Каласади была столь развита, что невозможно считать ее всецело созданием этого ученого. По-видимому, к его предшественникам принадлежал марокканский мавританский математик 8 века Ибн ал-Банна ал-Марракуши, который, по сообщению тунисского историка, применял при доказательствах алгебраические обозначения.
Немецкая школа «КОСС»
“Алгебраические буквы ”, которыми Пачоли обозначил неизвестную и ее степени и которыми с незначительными видоизменениями пользовались алгебраисты 16 века, были важным шагом на пути создания алгебраической символики. Следующий шаг был сделан немецкими алгебраистами 16 в., известные под названием “коссистов”. Это название объяснятся тем, что они именовали алгебру Coss- от итальянского слова Cossа – вещь, обозначавшую неизвестную у итальянских алгебраистов.
Название “Regel Algebre oder Cosse” для алгебраических правил мы встречаем в арифметике Яна Видмана . Видман был первым, кто начал в университете чтения лекций по алгебре. Учебник Видмана “Быстрый и красивый счет для всего купечества” эта книга знаменита тем, что здесь впервые появились знаки + и -.
Наиболее знаменитыми коссистами были Адам Ризе, известный также под именем Gigas,уроженец Франконии, написавший учебник “ Coss ” в 1524 году и Кристофер Рудольф из Яуэра выпустивший в 1525 году в Страсбурге учебник под традиционным названием “Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс”. Книга Ризе является сокращением сочинения, автор которого именуется Initius Algebras, что можно перевести “основоположник алгебры”. Терминология коссистов получила широкое распространение не только в Германии, но и в других странах Европы.