Вычисление интегралов, решение уравнений и систем уравнений

Приближенное вычисление интегралов

Приближённое вычисление определённого интеграла основано на геометрическом смысле интеграла и сводится к приближённому вычислению площади, ограниченной подынтегральной функцией f(x), прямыми x=a=x₀, x=b=x_n и осью OX (рис. 10.1).

Интервал [a,b] делится на n равных частей длиной .

Тогда значениям x_i=x_i-1+h, i=1,2...,n, соответствуют значения y_i=f(x_i) .

Метод прямоугольников. В методе левых прямоугольников искомая площадь вычисляется как сумма площадей прямоугольников, основание которых равно h, а высота равна соответственно y₀ для первого прямоугольника, y₁ – для второго и т.д. вплоть до последнего с высотой y_n-1. Тогда

Для метода правых прямоугольников аналогично

Метод трапеций. В методе трапеций определяется сумма площадей трапеций, основаниями которых являются ординаты y₀, y₁ и т.д., а высоты равны h.

Погрешность метода оценивается как , где М – максимальное значение второй производной f(x) на отрезке [a,b].Используя это соотношение можно определить количество точек, на которое делится отрезок, исходя из заданной погрешности.

Чтобы вычислить определённый интеграл в приложении Mathcad нужно записать интеграл, подынтегральную функцию и пределы интегрирования. Например:

Для получения численного значения записывается выражение:

z=

Решение уравнений

Пусть имеется уравнение:

f(x)=0

Решение уравнения численными методами состоит из двух этапов: 1) отделение корней, т.е. нахождение таких отрезков [a,b] на оси OX, внутри которых имеется один корень; 2) вычисление корней с заданной точностью.

Одним из способов отделения корней является графический способ. Рассмотрим его на примере.

Пусть требуется отделить корни уравнения 3-x-ln(x)=0.

Перепишем исходное уравнение в виде 3-x=ln(x)и построим графики функций y=3-x и y=ln(x)(рис. 10.2). Из чертежа видно, что графики пересекаются в единственной точке, абсцисса которой находится внутри отрезка [1,3]. Знаки функции на концах отрезка разные: f(1)=3-1-ln(1)>0, f(3)=3-3-ln(3)<0. Значит, данное уравнение имеет действитель-ный корень, лежащий внутри отрезка [1,3],то есть а=1, в=3.

Можно также отделить корни, построив график функции в приложении Mathcad или в приложении Excel.

После того, как определен отрезок (или отрезки), внутри которого имеется один корень, можно вычислить его с заданной точностью одним из методов.

Решить уравнение с помощью Mathcadможно разными способами.

С помощью меню.Следует записать уравнение, в котором логический знак равенства (на экране он будет жирным) вводится при помощи панели Логический. Если уравнение приведено к виду f(x)=0, то можно ввести только левую часть уравнения без знака равенства и нуля.

Затем надо выделить в уравнении переменную, относительно которой оно решается, и выполнить Символика/Перемен-ная/Решение.

С помощью ключевого слова solve.Надо ввести уравнение и ключевое слово solve с панели Символика, в появившемся местозаполнителе записать имя переменной, относительно которой решается уравнение.

Для упрощения сложного решения можно после имени введенной переменной ввести ключевое слово simplify панели Символика. Ключевые слова при этом отобразятся записанными в столбик.

С помощью встроенной функции root. Следует задать начальное приближение корня и записать само уравнение:

x:=1

f(x):=3-x-ln(x)

Для получения значения корня нужно использовать встроенную функцию:

root(f(x),x)=

В приложении Excel можно составить программы по алгоритмам, приведенным выше, на языке VBA и произвести нужные вычисления.

Кроме того, для решения уравнения в приложении Excel имеется команда Подбор параметра в пункте меню Сервис. Чтобы решить уравнение надо на рабочем листе, например, в ячейке А1 записать начальное приближение корня, в ячейке В1 − записать само уравнение: =3-А1-Log(A1).

Выполнить Сервис/Подбор параметра.В появившемся окне задать следующие значения: в поле Установить в ячейке задать В1, в поле Значение − ввести 0, в поле Изменяя значение ячейки − А1. После нажатия ОК в ячейке А1 будет корень уравнения.