Евклидова «Геометрическая алгебра»
Арифметика» Диофанта
Середина 3 в.н.э. Это было время, когда жил и работал Диофант -один из величайших математиков древности.
Появление Диофанта составляет до сих пор одну из самых темных загадок истории науки. О жизни Диофанта нам ничего не известно. Согласно Пселлу, ученый Анатолий Александрийский, который в 270 году стал епископом Лаодакии, посвятил Диофанту одного из произведений.
Уже первая книга "Арифметика" опровергает встречающееся иногда мнения, что числовая алгебра после вавилонян была впервые воскрешена лишь в странах ислама, а затем подхвачена европейцами.
У Диофанта мы находим отнюдь не простой возврат к числовой алгебре вавилонян. отбросив сковывавшую ее геометрическую оболочку, алгебра наконец находит свой собственный, присущий ей язык - появляется буквенная символика. Книга Диофанта свидетельствует о наличии у него буквенной символике. Значение этого шага огромною только на такой основе могло быть создано буквенное исчисление, развит формульный аппарат, позволяющий часть наших мыслительных операций заменить механическим преобразованием. Одновременно с введением символики Диофант явно формулирует основные правила алгабраических операций
Страны ислама.
В VII в. в Аравии возникла новая религия - ислам (буквально - "покорность"), Мухаммедом.
Образование халифата совпало с распадом рабовладельческой формации на его территории и становлением феодального строя. Правители Багдада уделяли значительное внимание земледелию, и, следовательно, ирригации. Нужды ирригации, строительства и сухопутной и морской торговли требовали развития математики. В завоёванных государствах арабы застали более высокую культуру, и багдадские халифы стали приглашать в Багдад виднейших ученых из покорённых стран. Большенство ученых работавших в Багдаде в IX-X вв., были уроженцами Средней Азии (ал -Хорезми из Хорезма, ал-Марвази из Мерва, ал-Фаргани из Ферганы).
Первое руководство по арифметике, основанное на позиционном принципе, было написано в первой трети IX в. Мухаммадом ал-Хорезми (ок 783-ок850) автор трактатов: 1) Китаб мухтасар аль-джебр воль-Мукабала" " книга о восстановлении" (приведены решения линейных и квадратных уравнений) 2) об индийском счете. Способствовал появлению терминов "алгебра" созвучно аль-джебра, "алгоритм" созвучно аль-Хорезми на латыни (Algorithmi). Ал-Хорезми подробно описывает сложения, вычитания, умножения, деление и извлечение квадратного корня с помощью индийских цифер. Руководство ал-Хорезми сыграло очень большую роль в развитии арифметики.
Немецкая школа «КОСС»
“Алгебраические буквы ”, которыми Пачоли обозначил неизвестную и ее степени и которыми с незначительными видоизменениями пользовались алгебраисты 16 века, были важным шагом на пути создания алгебраической символики. Следующий шаг был сделан немецкими алгебраистами 16 в., известные под названием “коссистов”. Это название объяснятся тем, что они именовали алгебру Coss- от итальянского слова Cossа – вещь, обозначавшую неизвестную у итальянских алгебраистов.
Название “Regel Algebre oder Cosse” для алгебраических правил мы встречаем в арифметике Яна Видмана . Видман был первым, кто начал в университете чтения лекций по алгебре. Учебник Видмана “Быстрый и красивый счет для всего купечества” эта книга знаменита тем, что здесь впервые появились знаки + и -.
Наиболее знаменитыми коссистами были Адам Ризе, известный также под именем Gigas,уроженец Франконии, написавший учебник “ Coss ” в 1524 году и Кристофер Рудольф из Яуэра выпустивший в 1525 году в Страсбурге учебник под традиционным названием “Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс”. Книга Ризе является сокращением сочинения, автор которого именуется Initius Algebras, что можно перевести “основоположник алгебры”. Терминология коссистов получила широкое распространение не только в Германии, но и в других странах Европы.
Евклидова «Геометрическая алгебра»
Мы почти ничего не знаем о Евклиде. Неизвестно, откуда он был родом, где и у кого учился. Такое беспрецедентное отсутствие сведений побудило даже одного историка науки предположить, что имя Евклида служило псевдонимом для группы александрийских математиков, что Евклид был Никола Бурбаки древности.
Все же у нас нет оснований сомневаться в существовании Евклида, тем более что в этом не сомневались и позднейшие греческие ученые, кое-что рассказывавшие о его характере. Папп сообщает, что он был очень доброжелателен ко всем тем, кто сделал хоть какой-нибудь вклад в математику, корректен, в высшей степени порядочен. Гораздо больше знаем о математическом творчестве Евклида. Прежде всего Евклид является для нас автором “Начал”, по которым учились математики всего мира. Его глубоко занимали вопросы логических основ математики и одно из его сочинений, которое до нас дошло, называлось “Ложные заключения”. В книге “Данные” Евклид исследовал вопрос о том, каково должно быть минимальное число заданных величин, чтобы сделать не которую задачу определенной.
“Начала” Евклида
Это удивительная книга пережила более двух тысячелетий, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и самой математики. Созданная там система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей. На геометрии Евклида базируется классическая механика, ее апофеозом было появление в 1687 г. «Математических начал натуральной философии» Ньютопа, где законы земной и небесной механики и физики устанавливаются в абсолютном евклидовом пространстве. Содержание «Начал» далеко не исчерпывается элементарной геометрией — это основы всей античной математики. Здесь подводится итог более чем 300-летнему ее развитию и вместе с тем создается прочная база для дальнейших исследований. Последующие математики ссылались на предложения «Начал», как на нечто окончательно установленное. Какие же области математики выбрал Евклид в качестве элементов? Это планиметрия и стереометрия, геометрическая алгебра и решение квадратных уравнений, теория чисел, учение об отношениях чисел и отношениях величин, классификация квадратичных иррациональностей, метод исчерпывания. В «Начала» не вошли ни учение о конических сечениях, ни исследования, связанные со знаменитыми задачами древности, ни квадрируемые луночки Гиппократа Хиосского. Там не рассматриваются также вопросы приближенных вычислений. Таким образом, «Начала» не являются энциклопедией античной математики. Видимо, цель Евклида при написании тринадцати книг «Начал» была: дать описание тех основных элементов, на основе которых могут быть развиты все разделы современной ему математики.
Аксиоматика
«Начала» Евклида состоят из 13 книг. Каждая книга начинается с определений. Кроме того, первой книге предшествует 5 постулатов и 5 аксиом.
Определения “Начал” можно разбить на две группы: рабочие определения, которые используются при построение теории и описательные, которые далее не употребляются. Последние, быть может, были попыткой ввести размеренность величин: точки- как нульмерной величины, линии- как одномерной.
Постулаты «Начал»:
1. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Первые три постулата описывают простейшие построения, которые можно осуществить с помощью циркуля и линейки. 4-й постулат обеспечивает единственность продолжения прямой. Пятый постулат – знаменитый постулат о параллельных прямых. Он обеспечивает существование точки пересечения у 2-х прямых, удовлетворяющих сформулированным условиям. Пятый постулат удивлял ученых сложностью своей формулировки. Уже в древности его пытались заменить другим более очевидным предложением. Так, у Прокла (V в. н.э.) встречается формулировка постулата о параллельных прямых, которая вошла во все школьные курсы.
Аксиомы «Начал» описывают общие свойства равенства и неравенства величин. Все аксиомы, кроме 4-й, относятся не только к геометрическим величинам, но и к числам вообще. 4-ая аксиома – «совмещающиеся равны» является единственной, в которой говорится о возможности движения – совмещения.
Тринадцать книг “Начал”
Первые четыре книги посвящены планиметрии и геометрической алгебре. Особенность их в том, что не применяется учение о подобии фигур, т.е. они строятся без действительных чисел.
1-ой книге излагается планиметрия прямолинейных фигур (треугольники, прямоугольники, трапеции).
В 2-ой книге излагаются элементы геометрической алгебры.
В 3-ей – свойства круга, его касательных и хорд.
В 4-ой книге строятся правильные - угольники (3, 4, 5, 10, 15).
5-ая книга посвящена общей теории отношений величин Евдокса.
6-ая книга – учение о подобии.
7-9 книги посвящены арифметике, т.е. теории целых и рациональных чисел.
10 книга проводит классификацию квадратичных иррациональностей, возникающих при решении цепочек квадратных уравнений.
11 книга посвящена стереометрии.
12 книга рассматривает объемы фигур.
13 книга – построение пяти правильных многогранников – тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.
Арифметика» Диофанта
Середина 3 в.н.э. Это было время, когда жил и работал Диофант -один из величайших математиков древности.
Появление Диофанта составляет до сих пор одну из самых темных загадок истории науки. О жизни Диофанта нам ничего не известно. Согласно Пселлу, ученый Анатолий Александрийский, который в 270 году стал епископом Лаодакии, посвятил Диофанту одного из произведений.
Уже первая книга "Арифметика" опровергает встречающееся иногда мнения, что числовая алгебра после вавилонян была впервые воскрешена лишь в странах ислама, а затем подхвачена европейцами.
У Диофанта мы находим отнюдь не простой возврат к числовой алгебре вавилонян. отбросив сковывавшую ее геометрическую оболочку, алгебра наконец находит свой собственный, присущий ей язык - появляется буквенная символика. Книга Диофанта свидетельствует о наличии у него буквенной символике. Значение этого шага огромною только на такой основе могло быть создано буквенное исчисление, развит формульный аппарат, позволяющий часть наших мыслительных операций заменить механическим преобразованием. Одновременно с введением символики Диофант явно формулирует основные правила алгабраических операций
Страны ислама.
В VII в. в Аравии возникла новая религия - ислам (буквально - "покорность"), Мухаммедом.
Образование халифата совпало с распадом рабовладельческой формации на его территории и становлением феодального строя. Правители Багдада уделяли значительное внимание земледелию, и, следовательно, ирригации. Нужды ирригации, строительства и сухопутной и морской торговли требовали развития математики. В завоёванных государствах арабы застали более высокую культуру, и багдадские халифы стали приглашать в Багдад виднейших ученых из покорённых стран. Большенство ученых работавших в Багдаде в IX-X вв., были уроженцами Средней Азии (ал -Хорезми из Хорезма, ал-Марвази из Мерва, ал-Фаргани из Ферганы).
Первое руководство по арифметике, основанное на позиционном принципе, было написано в первой трети IX в. Мухаммадом ал-Хорезми (ок 783-ок850) автор трактатов: 1) Китаб мухтасар аль-джебр воль-Мукабала" " книга о восстановлении" (приведены решения линейных и квадратных уравнений) 2) об индийском счете. Способствовал появлению терминов "алгебра" созвучно аль-джебра, "алгоритм" созвучно аль-Хорезми на латыни (Algorithmi). Ал-Хорезми подробно описывает сложения, вычитания, умножения, деление и извлечение квадратного корня с помощью индийских цифер. Руководство ал-Хорезми сыграло очень большую роль в развитии арифметики.