Элементарные динамические звенья

Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:

W_э(p) = .

Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета можно записать

D(p) = a_opⁿ + a₁p^{n - 1} + a₂p^{n - 2} + ... + a_n = a_o(p - p₁)(p - p₂)...(p - p_n),

где p₁, p2, ..., p_n - корни полинома D(p). Аналогично

K(p) = b_opm + b₁p^{m - 1}+ ... + bm = b_o(p - p^~₁)(p - p^~₂)...(p - p^~m),

где p^~₁, p^~₂, ..., p^~m - корни полинома K(p). То есть

Корни любого полинома могут быть либо вещественными p_i = a_i, либо комплексными попарно сопряженными p_i = a_i ± j _i . Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель (p - a_i ). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как

(p - a_i + j _i )(p - a_i - j _i ) = (p - ai)² + _i ² = p² - 2pa_i + (a_i ² + _i ²).

То есть

Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.

В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то есть W(p) = , W(p) = , W(p) = 1/p, W(p) = p, W(p) = Tp + 1, W(p) = k. Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.

Вопросы

1. Какой режим САУ называется динамическим?
2. Что называется регулированием?
3. Назовите возможные виды переходных процессов в САУ. Какие из них являются допустимыми для нормальной работы САУ?
4. Что называется уравнением динамики? Каков его вид?
5. Как провести теоретическое исследование динамики САУ?
6. Что называется линеаризацией?
7. В чем геометрический смысл линеаризации?
8. В чем состоит математическое обоснование линеаризации?
9. Почему уравнение динамики САУ называется уравнением в отклонениях?
10. Справедлив ли для уравнения динамики САУ принцип суперпозиции? Почему?
11. Как звено с двумя и более входами представить схемой, состоящей из звеньев с одним входом?
12. Запишите линеаризованное уравнение динамики в обычной и в операторной формах?
13. В чем смысл и какими свойствами обладает дифференциальный оператор p?
14. Что называется передаточной функцией звена?
15. Запишите линеаризованное уравнение динамики с использованием передаточной функции. Справедлива ли эта запись при ненулевых начальных условиях? Почему?
16. Напишите выражение для передаточной функции звена по известному линеаризованному уравнению динамики: (0.1p + 1)py(t) = 100u(t).
17. Что называется динамическим коэффициентом усиления звена?
18. Что называется характеристическим полиномом звена?
19. Что называется нулями и полюсами передаточной функции?
20. Что называется динамическим звеном?
21. Что называется структурной схемой САУ?
22. Что называется элементарными и типовыми динамическими звеньями?
23. Как сложную передаточную функцию разложить на передаточные функции типовых звеньев?

4.1. Эквивалентные преобразования структурных схем

Структурная схема САУ в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем. Рассмотрим возможные способы преобразований.

1. Последовательное соединение (рис.28) - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего. При этом можно записать:

y₁ = W₁ y_o; y₂ = W₂ y₁; ...; y_n = W_n y_{n - 1} = >

y_n = W₁ W₂.....W_n.y_o = W_экв y_o,

где .

То есть цепочка последовательно соединенных звеньев преобразуется в эквивалентное звено с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев.

2. Параллельно - согласное соединение (рис.29) - на вход каждого звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы складываются. Тогда:

y = y₁ + y₂ + ... + y_n = (W₁ + W₂ + ... + W3)y_o = W_экв y_o,

где .

То есть цепочка звеньев, соединенных параллельно - согласно, преобразуется в звено с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций отдельных звеньев.

3. Параллельно - встречное соединение (рис. 30а) - звено охвачено положительной или отрицательной обратной связью. Участок цепи, по которому сигнал идет в противоположном направлении по отношению к системе в целом (то есть с выхода на вход) называется цепью обратной связи с передаточной функцией W_ос. При этом для отрицательной ОС:

y = W_пu; y₁ = W_осy; u = y_o - y₁,

следовательно

y = W_пy_o - W_пy₁ = W_пy_o - W_пW_ocy = >

y(1 + W_пW_oc) = W_пy_o = > y = W_эквy_o,

где .

Аналогично: - для положительной ОС.

Если W_oc = 1, то обратная связь называется единичной (рис.30б), тогда W_экв = W_п /(1 ± W_п).

Замкнутую систему называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой либо точке получают цепочку из последовательно соединенных элементов (рис.31а). Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных звеньев, соединяющий точку приложения входного сигнала с точкой съема выходного сигнала называетсяпрямой цепью (рис.31б, передаточная функция прямой цепи W_п = Wo W₁ W₂). Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур называют разомкнутой цепью (рис.46в, передаточная функция разомкнутой цепи W_p = W₁ W₂ W₃ W₄). Исходя из приведенных выше способов эквивалентного преобразования структурных схем, одноконтурная система может быть представлена одним звеном с передаточной функцией: W_экв = W_п/(1 ± W_p) - передаточная функция одноконтурной замкнутой системы с отрицательной ОС равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи. Для положительной ОС в знаменателе знак минус. Если сменить точку снятия выходного сигнала, то меняется вид прямой цепи. Так, если считать выходным сигналy₁ на выходе звена W₁, то W_p = Wo W₁. Выражение для передаточной функции разомкнутой цепи не зависит от точки снятия выходного сигнала.

Замкнутые системы бывают одноконтурными и многоконтурной (рис.32).Чтобы найти эквивалентную передаточную функцию для данной схемы нужно сначала осуществить преобразование отдельных участков.

Если многоконтурная система имеет перекрещивающиеся связи (рис.33), то для вычисления эквивалентной передаточной функции нужны дополнительные правила:

4. При переносе сумматора через звено по ходу сигнала необходимо добавить звено с передаточной функцией того звена, через которое переносится сумматор. Если сумматор переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена, через которое переносим сумматор (рис.34).

Так с выхода системы на рис.34а снимается сигнал

y₂ = (f + y_oW₁)W₂.

Такой же сигнал должен сниматься с выходов систем на рис.34б:

y₂ = fW₂ + y_oW₁W₂ = (f + y_oW₁)W₂,

и на рис.34в:

y₂ = (f(1/W₁) + y_o)W₁W₂ = (f + y_oW₁)W₂.

При подобных преобразованиях могут возникать неэквивалентные участки линии связи (на рисунках они заштрихованы).

5. При переносе узла через звено по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена, через которое переносим узел. Если узел переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией звена, через которое переносится узел (рис.35). Так с выхода системы на рис.35а снимается сигнал

y₁ = y_oW₁.

Такой же сигнал снимается с выходов рис.35б:

y₁ = y_oW₁W₂/W₂ = y_oW₁

и рис.35в:

y₁ = y_oW₁.

6. Возможны взаимные перестановки узлов и сумматоров: узлы можно менять местами (рис. 36а); сумматоры тоже можно менять местами (рис.36б); при переносе узла через сумматор необходимо добавить сравнивающий элемент (рис.36в: y = y₁ + f₁ = > y₁ = y - f₁) или сумматор (рис.36г: y = y₁ + f₁).

Во всех случаях переноса элементов структурной схемы возникают неэквивалентные участки линии связи, поэтому надо быть осторожным в местах съема выходного сигнала.

При эквивалентных преобразованиях одной и той же структурной схемы могут быть получены различные передаточные функции системы по разным входам и выходам. Так на рис.48 имеется два входа: по управляющему воздействию u и возмущению f при одном выходе y. Такая схема может быть преобразована к одному звену с двумя передаточными функциями W_uy и W_fy.