Расчет качественных показателей оптимальной системы простого различения двух сигналов

Качество систем различения сигналов мы условились характеризовать средней вероятностью ошибочных решений Р_ош.ср. В настоящем параграфе приведем расчет этой вероятности для случая различения полностью известных сигналов (называемого простым различением) в предположении, что схема обработки наблюдений выбрана оптимальной. Мы проиллюстрируем метод расчета, установим ряд закономерностей и сделаем практические выводы.

4.5.1. Различение нулевого и ненулевого сигналов. В этом случае в принимаемое колебание удобно ввести двоичное число aÎ(0,1)

. (4.5.1)

Оптимальная обработка (4.3.11) сводится к формированию корреляционного интеграла и к сравнению его с порогом Э/2

, . (4.5.2)

Средняя вероятность ошибочных решений, учитывая равенство априорных вероятностей P₁=P₂=0,5

P_ошср=P₁P_ош1+P₂P_ош2=0.5(P_ош1+P_ош2) . (4.5.3)

Рассчитаем вероятность P_ош1 принятия решения , при условии, что передано сообщение a=1

.

Решение согласно (2) принимается, если Y<0,5Э, а условие a=1 тождественно условию u=s+n. Поэтому

. (4.5.4)

Здесь и в дальнейшем там, где это не может привести к недоразумениям, используется сокращенная запись функций u, s, n без указания аргумента и интегралов без указания пределов интегрирования. Подставим в корреляционный интеграл (4) обусловленное значение u. Тогда

. (4.5.5)

Обозначим

. (4.5.6)

Случайная величина q является гауссовской, так как представляет собой линейный функционал гауссовского СП n(t). Ее ПВ определяется математическим ожиданием и дисперсией . Находим эти характеристики , а

. (4.5.7)

В соответствии с пояснениями, приведенными при расчете (4.4.17), модель помехи выбирается в виде белого шума: n(t₁)n(t₂) =0,5N₀d(t₁-t₂). Тогда, используя в (7) фильтрующее свойство -функции, получаем

. (4.5.8)

Следовательно, q является нормальной случайной величиной с характеристиками m_q=0 и (8), что кратко будет записываться так: .

В качестве упражнения предлагаем самостоятельно рассчитать дисперсию величины (6) (пользуясь разложением n(t) в ряд Котельникова) в случае, когда помеха n(t) имеет равномерный ограниченный спектр мощности с верхней частотой F³F₀+F_c ,F<¥, и убедиться, что при этом получится тот же результат (8).

Общая закономерность, которой мы будем пользоваться в дальнейшем, состоит в следующем. Интеграл произведения гауссовской центрированной помехи n(t) с равномерным спектром и произвольной функции ℓ(t), но такой, что ее спектр не имеет частотных составляющих вне полосы частот |f|£F, занятой помехой, представляет собой нормальную случайную величину с m=0 и s²=0,5N₀Э_ℓ, где Э_ℓ<¥ - энергия функции ℓ(t).

Плотность вероятности величины q равна

. (4.5.9)

Вероятность ошибки (5) соответственно выражается формулой

,

которая после подстановки

при , (4.5.10)

принимает вид

. (4.5.11)

Интеграл ПВ P(x) гауссовской центрированной и нормированной ( ) случайной величины представляет собой табулированную функцию, называемую интегралом вероятности и обозначаемую далее символом Ф

. (4.5.12)

Функция Ф(Z) является монотонно возрастающей функцией своего аргумента Z. На рис.4.11, дана геометрическая интерпретация функции Ф(Z) как площади под кривой ПВ P(x) нормальной нормированной случайной величины x®N(0,1). Из рисунка ясно, что значения функции Ф(-Z) при отрицательном аргументе (заштрихованные площади) можно выразить через значения функции при положительном аргументе Ф(Z)

или

. (4.5.13)

Рис. 4.11

Поэтому табулируются значения функции Ф(Z) только на положительной полуоси ZÎ(0,¥). На рис.4.11.б приведен примерный график функции Ф(Z).