Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон

Пусть с испытанием связаны n случайных величин x1, x2,….,ξn. Укажем кратко, как введенные в этой главе понятия переносятся на этот случай.

1. Совместной функцией распределения случайных величин x1, x2,….,ξn называется функция

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru

Совместной плотностью вероятности случайных величин x1, x2,….,ξn называется функция

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru Имеет место равенство

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru

2. Обозначим аi, σj математическое ожидание и СКО случайной величины ξi, кij – ковариацию случайных величин ξi, ξj:

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru

Матрица

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru

называется дисперсионной матрицей случайных величин x1, x2,….,ξn. Отметим следующие свойства матрицы D.

10. Элементы главной диагонали матрицы D – дисперсии случайных величин x1, x2,….,ξn:

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru

20. Матрица D симметрическая: kij=kji.

30. Собственные числа матрицы D неотрицательны.

Свойства 10, 20 очевидны. Предлагаем читателю проверить свойство 30 для частного случая n=2. В этом случае матрица D имеет вид

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru (28)

где r – коэффициент корреляции случайных величин x1, x2.

3. В §3 этой главы было введено понятие совместного нормального распределения случайных величин x1, x2 – см.формулу (25). Это понятие обобщается следующим образом. Говорят, что случайные величины x1, x2,….,ξn имеют совместное нормальное распределение, если совместная плотность вероятности дается формулой

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru

где Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru - определитель дисперсионной матрицы D,

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru

сij – элементы матрицы C=D-1.

Нетрудно проверить, что в частном случае n=2 это определение совпадает с определением (25); для этого нужно воспользоваться формулой (28) для матрицы D и формулой обращения матрицы второго порядка с отличным от нуля определителем:

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru

(предлагаем читателю выполнить проверку самостоятельно).

Справедливы утверждения: если x1, x2,….,ξn имеют совместное нормальное распределение, то каждая из них отдельно также нормальна; если каждая ξi нормальна и при этом x1, x2,….,ξn независимы, то их совместное распределение также нормально, и имеет место формула

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон - student2.ru

где fi(x) – плотность вероятности ξi. В общей ситуации из нормальности каждой отдельно ξi не вытекает нормальность совместного распределения.

Понятие совместного нормального распределения играет важную роль в приложениях теории вероятностей.

Глава 5. Закон больших чисел. Предельные теоремы

Под законом больших чисел понимают закономерности в массовых случайных явлениях, когда взаимодействие большого числа случайных факторов приводит к неслучайному результату. Пример закономерности такого типа приведен во введении: доля наступления случайного события в длинной серии независимых одинаковых испытаний практически неслучайна. Другой замечательный пример: оказывается, в ряде случаев закон распределения суммы большого числа случайных слагаемых не зависит от законов распределения слагаемых и может быть предсказан! Назначение предельных теорем теории вероятностей: дать строгие формулировки и обоснования различных форм закона больших чисел. В этой главе мы кратко рассмотрим результаты такого типа.



Наши рекомендации