Краткий исторический очерк.. 7

Глава 1. Основные понятия и правила теории вероятностей.. 13

Классическое определение вероятности.. 13

Элементы комбинаторики.. 15

Действия над событиями.. 18

Теоремы сложения и умножения вероятностей.. 20

Формула полной вероятности. Формула Байеса. 24

Схема с повторением испытаний (схема Бернулли) 26

Глава 2. Случайные величины.. 30

Дискретные и непрерывные случайные величины.. 30

Закон распределения дискретной случайной величины.. 32

Математическое ожидание дискретной случайной величины.. 33

Дисперсия дискретной случайной величины.. 36

Закон распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины 38

Глава 3. Основные законы распределения. 45

Биномиальный закон.. 45

Равномерный закон.. 46

Закон Пуассона. 47

Показательный закон.. 49

Нормальный закон.. 53

Глава 4. Совместные распределения случайных величин.. 55

Закон распределения случайной точки дискретного типа на плоскости 55

Закон распределения случайной точки непрерывного типа на плоскости 57

Ковариация двух случайных величин. 60

Коэффициент корреляции.. 60

Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон 66

Глава 5. Закон больших чисел. Предельные теоремы.. 68

Закон больших чисел в форме Чебышева. 68

Теорема Бернулли.. 72

Центральная предельная теорема. 74

Глава 6. Элементы математической статистики.. 77

Предмет математической статистики.. 77

Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот 78

Выборочная функция распределения. 80

§ 4. Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требования к оценкам 81

Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации 82

Два распределения, связанные с нормальным законом.. 84

Квантиль распределения. 86

Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии 86

Общая схема проверки гипотез по данным опыта. 88

Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины по данным опыта 89

Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. 91

Метод наименьших квадратов (МНК) 92

Дополнения. 94

I. Образцы решения типовых задач. 94

II. Задачи для самостоятельного решения. 118

III. Задания для контрольной работы.. 148

Приложения. Ошибка! Закладка не определена.

Библиографический список.. Ошибка! Закладка не определена.

Введение

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности в массо­вых случайных явлениях. Поясним это на двух простых примерах.

1. Проводится испытание – бросается монета. Если ис­пы­тание проводится один раз, то предсказать его исход – выпаде­ние герба или цифры – невозможно, здесь царит слу­чай. Пусть теперь испытание проводится много раз, причем так, что при каждом следующем испытании воспроизводится комплекс ус­ловий, при которых проводилось предыдущее; в этом случае говорят, что проводится серия независимых ис­пытаний. Заме­чательным является то, что в этой ситуации случай исчезает: можно предсказать, что герб выпадет при­мерно в 50% случаев, причём этот прогноз тем точнее, чем больше проводится испы­таний. Этот прогноз подтвержда­ется многократными провер­ками, проводившимися в разное время учёными. Так, француз­ский учёный Ж.Л.Л.Бюффон бросал монету 4040 раз, герб выпадал в 2048 случаях; швед­ский учёный К.Пирсон бросал монету 24000 раз, герб выпа­дал в 12012 случаях; и так далее.

2. Пусть испытание состоит в бросании игральной кости, представляющей собой куб, грани которого занумеро­ваны цифрами 1–6. При однократном бросании предсказать исход невозможно, однако можно предсказать, что в длин­ной серии независимых бросаний каждая из цифр выпадает примерно в 1/6 части случаев, этот прогноз тем точнее, чем больше броса­ний.

Проиллюстрированное на двух примерах явление, со­стоящее в том, что процент наступления случайного события в длинной серии независимых испытаний не случаен, пред­став­ляет собой один из универсальных законов природы, по­лучив­ший название закона больших чисел. Теория вероятно­стей представляет собой математическую модель этого за­кона. Вво­димое в самом начале этой теории понятие "веро­ятность слу­чайного события" и связанные с ним правила по­зволяют дать строгую математическую формулировку за­кона больших чи­сел, дают подходы к вычислению в ряде важных для практики случаев процента наступления случай­ного события в длинной серии испытаний до того, как эти испытания проводятся, и тем самым – подходы к прогнози­рованию результата этих испыта­ний. Методы прогнозирова­ния по массовым случайным явле­ниям, развиваемые в тео­рии вероятностей, широко применя­ются в настоящее время в различных областях науки и практи­ческой деятельности че­ловека.

Данное учебное пособие написано на основе курсов лек­ций, прочитанных одним из авторов в Омском государст­вен­ном техническом университете, другим автором в Ом­ском филиале Московского государственного университета коммер­ции. Основная задача, которую ставили перед собой авторы, – не стремясь к максимальной строгости и охвату материала, предложить простую методику разъяснения ряда трудных для понимания узловых понятий и идей теории ве­роятностей. на­деемся, что эта задача отчасти выполнена.

В дополнениях I-III приведены об­разцы решения типовых задач, набор задач для использова­ния на практиче­ских занятиях и варианты контрольных за­даний для студентов заочной формы обучения.

Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических специальностей широкого профиля, может быть использовано в качестве элементарного руководства ин­женерами и экономистами, применяющими в своей дея­тельно­сти методы теории вероятностей.

Краткий исторический очерк

Истоки теории вероятностей теряются в глубине веков. Еще в древнем Египте собирались статические данные о на­ро­донаселении. Этот факт говорит о том, что уже тогда была за­мечена возможность практических выводов по результатам массовых случайных явлений. Однако многие столетия дальше сбора статистических данных дело не шло. В этот период ника­ких специальных методов не возникает, идет на­копление материала.

В XVI веке появление работ Д. Кардано и Н. Тарталья[1] знаменует собой первый шаг в развитии вероятностных пред­ставлений. В работах этих ученых впервые формулиру­ются простейшие задачи из области азартных игр.

На роль случайностей в измерениях впервые обратил внимание великий Галилей[2]. И хотя он не дал аналитиче­ского анализа оценки ошибок наблюдений, многие выска­занные им положения оказали большое влияние на выра­ботку основных понятий теории ошибок и теории вероятно­стей.

Дальнейшее развитие теории вероятностей можно ус­ловно разбить на 4 периода[3].

первый период начинается с середины XVII века и про­должается до начала XVIII в. Он характеризуется воз­никнове­нием теории вероятностей как науки.

До середины XVII в. не было никакого общего метода решения вероятностных задач. Однако следующие 50 лет озна­меновались выдающимися достижениями в этой об­ласти. В разработку вопросов теории вероятностей были во­влечены крупнейшие ученые того времени. В первую очередь здесь следует назвать Паскаля[4], Ферма[5] и Гюйгенса[6]. В своих трудах они уже широко использовали теоремы сложения и умножения, ввели понятие математического ожидания, а также выяснили фундаментальное значение для теории вероятностей понятий зависимости и независимости случайных событий.

В 1657г. Гюйгенс пишет первую книгу по теории вероятностей "О расчете в азартных играх". Примечательно его высказывание: "… при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории".

Итак, в рассматриваемый период теория вероятностей превращается в науку. Она начинает использоваться для реше­ния важных практических задач, находит свои первые приме­нения в демографии (наука о народонаселении), страховом деле и теории ошибок.

Начало второго периода связано с появлением в 1713г. книги Я.Бернулли[7] "Искусство предположений". В этой работе была строго доказана одна из важнейших теорем теории вероятностей, которая является простейшей формой

закона больших чисел. Эта теорема утверждает, что относительная частота события при достаточно большом числе испытаний сходится в определенном смысле к вероятности этого события. Теорема Бернулли позволила придать определенный смысл понятию вероятности и применить теорию вероятностей к самым разнообразным задачам статистики.

Выдающимся ученым Муавру[8] и Лапласу[9] принадлежит заслуга доказательства одной из простейших форм центральной предельной теоремы. Они впервые ввели в рассмотрение нормальный закон, который играет исключительную роль в самых разнообразных задачах теории вероятностей.

Великий немецкий математик К.Ф. Гаусс[10] доказал, что ошибки измерений подчиняются нормальному закону, и тем самым внес неоценимый вклад в теорию ошибок. Он также разработал метод обработки экспериментальных данных, который носит название "Метода наименьших квадратов". Здесь следует также отметить, что вывод нормального закона для случайных ошибок независимо от Гаусса и практически одновременно с ним получил малоизвестный американский математик Р. Эдрейн (1775–1843).

Второй период в развитии теории вероятностей завершается работами Пуассона[11], который доказал более общую, чем у Я. Бернулли, форму закона больших чисел. Ему также принадлежит заслуга применения методов теории вероятностей к задачам стрельбы. Имя Пуассона носит название один из важнейших законов распределения, который играет большую роль во многих задачах практики.

Следует отметить, что попытка Пуассона и некоторых других ученых применять теорию вероятностей к социальным явлениям вызвала оживленные споры и серьезные возражения в среде математиков и социологов. Появилось большое количество работ, посвященных неоправданным применениям теории вероятностей к жизни общества. Это привело к тому, что к теории вероятностей стали относиться скептически. А если еще учесть, что в это время недостаточно ясны были области приложения теории вероятностей в естественных науках, то становится понятным, почему интерес к ней на Западе резко упал.

Третий период в развитии теории вероятностей тесно связан с работами Петербургской математической школы. Следует отдать должное выдающемуся математику В.Я.Буняковскому (1804–1889), роль которого в распространении вероятностных идей в России переоценить нельзя. Он является автором первого курса теории вероятностей на русском языке и учителем великого русского математика П. Л. Чебышева[12], которого по праву можно назвать руководителем дореволюци­онной математической школы в России. Работы Чебышева в области теории вероятностей явились крупнейшим событием в математике. Они положили начало целому циклу глубоких исследований в области закона больших чисел. Его идеи оста­вили яркий след в развитии математики и предопределили надолго наперед направление и методы исследований массо­вых случайных явлений. "Вывел русскую теорию вероятностей на первое место в мире Пафнутий Львович Чебышев", – так оценил роль этого замечательного ученого академик А.Н. Кол­могоров[13].

Наиболее выдающимися учениками Чебышева, оста­вив­шими неизгладимый след в развитии теории вероятно­стей, яв­ляются А.А. Марков[14] и А.М. Ляпунов[15]. Маркову принадлежит обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин. Его работы положили начало бурно развивающейся в настоящее время теории случайных функций. Ляпунову мы обязаны первым доказательством центральной предельной теоремы при весьма общих усло­виях.

Современный, четвертый период характеризуется ис­ключительным подъемом интереса к теории вероятностей в самых различных областях человеческой деятельности. Этот интерес стимулировал бурное развитие многих направлений теории вероятностей.

Российская школа теории вероятностей, которая в на­стоящее время по праву занимает в мировой науке ведущее ме­сто, решила ряд принципиальных вопросов. В частности, ака­демикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежат основополагающие работы в аксиоматическом построении теории вероятностей.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли российские ученые А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Е. Б. Дынкин, В.С. Пугачев, А.Н. Ширяев, А.А. Боровков, Ю.А. Розанов, Ю.В. Прохоров, И.И.Гихман, А.В. Скороход и другие. теория вероятностей продолжает интенсивно развиваться в настоящее время.

Глава 1. Основные понятия и правила теории вероятностей