Интегрирование рациональных дробей.

Выражения вида , где а - вещественное, k, l - натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями.

Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:

= (4)

где -число;

Дроби вида , где k, l - натуральные числа,

- простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями.

Определение. Дробь называется правильной, если (здесь

m иnстепени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно. Если m≥n , дробь называется неправильной.

Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби: .

Можно доказать следующую теорему.

Теорема. Любая правильная рациональная дробь , где многочлен, определённый равенством (4), может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей (m и n — степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе соответственно). Эта сумма строится следующим образом в два этапа:

1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму из слагаемых: ;

2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму из слагаемых:

В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие:

(5)

Пример: Найти .

Решение: Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель).

Тогда .

Разложим дробь на простейшие дроби:

;

Отсюда

Следовательно,

Но тогда:

=

Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций.

Пусть - рациональная функция своихаргументов. Тогда интеграл находится заменой переменных

Как правило, за берется наименьшее общее кратное чисел , где , т.е. r выбирается так, чтобы все корни, стоящие под знаком интеграла, извлекались.

Пример 1. Вычислить неопределенный интеграл .

Решение:

В подынтегральном выражении выделим целую часть: ,

Интегрирование тригонометрических выражений.

Пусть — рациональная функция своих аргументов. Рассмотрим несколько случаев:

Й случай.

Интеграл универсальной тригонометрической подстановкой сводится к интегралу от рациональной функции. При этом .

С учетом сделанной замены получим

,

где - рациональная функция, интеграл от которой рассматривался выше.

Пример: Найти неопределенный интеграл: .

Решение: Сделаем универсальную тригонометрическую подстановку:

; .

Тогда .

Отметим, что универсальную тригонометрическую подстановку, как правило, используют в тех случаях, когда другие подстановки, приведенные ниже не приводят к желаемым результатам.

Й случай.

В интегралах , где и входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях делается замена . При этом

.

Этой же подстановкой к интегралам от рациональных функций приводятся интегралы вида .

Пример: Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: Сделаем подстановку:

; .

Тогда

.

3-й случай. Интегрирование выражений вида

, (6)

где mи n-целые числа. Рассмотрим два случая:

а) Среди чисел m,nесть хотя бы одно нечетное. Тогда за tпринимается функция, стоящая в основании другой степени.

Пример. Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: Здесь функция стоит в нечетной степени, поэтому

;

б) В выражении (6) оба числаm,n- четные неотрицательные.

Положим m=2p, n=2q и применим формулы:

.

Тогда

Раскрыв скобки, получим сумму интегралов, к каждому из которых применим 1-й или 2-й способы:

.

Определенный интеграл.