Раздел 4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
16.Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятностной меры.
17.Дискретное вероятностное пространство. Классическое определение вероятностей.
18.Случайные величины. Функции распределения и их свойства. Абсолютно непрерывные, дискретные распределения. Типовые распределения: биномиальное, равномерное, геометрическое, пуассоновское, нормальное, показательное, распределение Стьюдента, c2-распределение, г-распределение, распределение Коши. Схема Бернулли. Полиномиальная схема.
19.Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые случайные величины.
20.Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры. Математическое ожидание функции случайной величины. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Вычисление математических ожиданий и дисперсий для типовых распределений. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Неравенство Чебышева. Коэффициент корреляции и его свойства.
21.Определение и свойства характеристической функции. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Вычисление характеристических функций для типовых распределений. Примеры и приложения.
22.Дискретные цепи Маркова с конечным числом состояний. Примеры цепей Маркова. Классификация состояний цепи Маркова. Периоды классов эргодических состояний. Теорема о предельных вероятностях для неразложимой ациклической цепи. Нахождение вектора предельных вероятностей путем решения системы линейных уравнений.
23.Определение случайного процесса. Примеры. Семейство конечномерных распределений. Классификация случайных процессов. Пуассоновский случайный процесс. Стационарные процессы. Свойства корреляционной функции.
24.Основные понятия математической статистики: понятия выборки, вариационного ряда, эмпирической функции распределения, выборочных моментов. Примеры использования этих понятий в практических задачах.
25.Основные методы статистического оценивания. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Применение к случаю нормального и биномиального распределения.
26.Проверка статистических гипотез. Простые и сложные гипотезы. Статистические критерии. Ошибки 1-го и 2-го родов. Функция мощности. Наиболее мощный и равномерно наиболее мощный критерии. Лемма Неймана-Пирсона. Примеры применения леммы к случаю нормального, биномиального и полиномиального распределений.
Раздел 5. АЛГЕБРА
27.Ранг матрицы над полем, способы его вычисления. Ранг произведения матриц. Обратная матрица и способы ее вычисления.
28.Кольца вычетов. Малая теорема Ферма. Сравнения первой степени. Китайская теорема об остатках.
29.Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов с остатком. Теорема Безу.
30.Делимость многочленов над полем. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное многочленов. Взаимно простые многочлены и их свойства. Неприводимые многочлены и их свойства. Каноническое разложение многочлена и его однозначность.
31.Группы и их основные свойства. Смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа. Циклические группы. Конечные абелевы группы.
32.Подстановки конечных множеств, их четность. Разложение подстановок в произведение независимых циклов.
33.Векторные пространства над полем, их базисы и размерность. Координаты векторов в базисе и их изменение при переходе к другому базису. Свойства конечномерных векторных пространств. Подпространства векторного пространства, операции над ними. Размерности суммы и пересечения подпространств.
34.Транзитивные и примитивные группы подстановок. Сопряженность подстановок в симметрической группе, уравнения Коши.
35.Системы образующих групп. Понятия свободной группы. Подгруппы свободных групп.
36.Примеры системы образующих элементов симметрической и знакопеременной групп подстановок, оценки длины групп относительно этих систем образующих. Описание групп подстановок, порождаемых наборами транспозиций.
37.Нормальные делители группы. Факторгруппа, теорема об эпиморфизме.
38.Конечные поля, характеристика поля, число элементов, теорема о примитивном элементе. Существование поля с заданным примарным числом элементов. Описание подполей.
39.Неприводимые многочлены над конечными полями. Существование неприводимых многочленов данной степени над конечным полем. Построение конечного поля с заданным числом элементов.
40.Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП) над полем. Характеристический многочлен. Семейства ЛРП. Минимальный многочлен, способы его нахождения.
41.Периодические последовательности и ЛРП. Нахождение периодов многочленов и ЛРП над конечными полями. Многочлены и ЛРП максимального периода над GF(q).