Резонансные явления в электрических цепях

Режим работы электрической цепи, при котором ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе, называют резонансом. При этом эквивалентное сопротивление всей цепи будет активным. В цепях, состоящих из резистивного, индуктивного и емкостного элементов, различают резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений может иметь место в цепи с последовательно соединенными индуктивным и емкостным элементами. Рассмотрим схему последовательного соединения резистора, индуктивности и емкости (рис. 6.1).

Второй закон Кирхгофа для данной цепи можно записать:

.

Отсюда комплексное сопротивление цепи

. (6.1)

Построим векторную диаграмму. При этом могут иметь место три случая.

1. Пусть индуктивное сопротивление больше емкостного X_L > X_C , тогда и индуктивное напряжение будет больше емкостного U_L > U_C. Векторная диаграмма будет иметь вид (рис. 6.2).

Реактивная составляющая напряжения U_Х = U_L – U_C – положительна, и угол сдвига фаз между током и напряжением φ> 0. Такой характер цепи является активно-индуктивным.

2. Пусть индуктивное сопротивление меньше емкостного X_L < X_C . Тогда и индуктивное напряжение станет меньше емкостного U_L < U_C, так как ток через элементы протекает один и тот же, а напряжение пропорционально току и сопротивлению. Векторная диаграмма будет иметь вид (рис. 6.3).

Реактивная составляющая напряжения U_Х = U_L – U_C – отрицательна, и угол сдвига фаз между током и напряжением φ < 0. Такой характер цепи является активно- емкостным.

3. Пусть X_L = X_C, в этом случае индуктивное и емкостное напряжения равны по величине U_L = U_C. Так как они всегда противоположны по фазе, то они полностью компенсируют друг друга, следовательно, реактивная составляющая U_Х = U_L – U_C = 0. Общее напряжение будет активным и совпадет по фазе с током φ = 0, следовательно, в цепи имеет место резонанс напряжений. Векторная диаграмма для данного случая показана на рис. 6.4.

Из вышесказанного следует, что условием, при котором наступит резонанс напряжений, является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений.

, или .

Из выражения (6.1) следует, что при резонансе полное сопротивление цепи имеет активный характер.

Резонанс напряжений можно достигнуть подбором трех параметров:

1) изменением частоты колебательного контура , L, C = const;

2) изменением индуктивности контура , , С = const;

3) изменением емкости колебательного контура , , L = const .

При этом все три параметра связаны между собой.

Из условия получаем: , отсюда:

, , .

Частоту ω₀, определяемую из такого условия, называют резонансной.

Если напряжение на зажимах цепи и активное сопротивление цепи R не изменяются, то ток при резонансе имеет максимальное значение

, так как .

Если реактивные сопротивления превосходят при резонансе активное сопротивление:

, ,

то напряжения на зажимах катушки и конденсатора могут существенно превышать напряжение на входе цепи.

Превышение напряжения на реактивных элементах над напряжением на входе принято характеризовать величиной

,

называемой волновым или характеристическим сопротивлением цепи. Волновое сопротивление численно равно индуктивному или емкостному сопротивлению на резонансной частоте.

Кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного и емкостного сопротивлений над входным определяют отношением напряжения на реактивном элементе к напряжению на входе цепи на резонансной частоте:

.

Эта величина называется добротностью контура.

Величина, обратная добротности

,

называется затуханием контура.

Избирательные свойства колебательного контура определяются его добротностью. Чем больше добротность контура, тем более узкой будет резонансная кривая (рис. 6.5).

Избирательность контура характеризуется полосой пропускания. Полоса пропускания – это диапазон частот, для которых ток ослабляется не более чем в раз по отношению к максимальному значению

.

Ширину полосы пропускания можно определить по формуле

.

Рассмотрим резонансные кривые тока и напряжений (рис. 6.6).

При неизменных параметрах цепи и неизменном входном напряжении ток определится выражением

.

Рассмотрим это выражение в реперных точках: ; . При нулевой частоте ток в цепи будет постоянным, величина тока , так как конденсатор не пропускает постоянный ток, при резонансной частоте ток максимален – это признак резонанса напряжений . На высоких частотах ток , так как сопротивление катушки становится равным .

Напряжение на индуктивности пропорционально частоте, следовательно, при нулевой частоте напряжение на индуктивности . При все напряжение, подаваемое от источника, приложено к индуктивности, и .

Напряжение на емкости обратно пропорционально частоте, следовательно, при все напряжение приложено к емкости . При , так как равно нулю емкостное сопротивление.

При резонансной частоте индуктивное и емкостное напряжения равны .

Напряжение на резистивном элементе пропорционально току и, следовательно, повторяет форму кривой тока при и , при .

Рассмотрим энергетические соотношения при резонансе.

Мгновенные значения мощности на зажимах катушки и конденсатора определяются выражениями:

;

.

Так как при резонансе , эти мощности в любой момент времени равны и противоположны по знаку. Это значит, что происходит обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, но не происходит обмена между источником и реактивными элементами, так как

и ,

то есть суммарная энергия электрического и магнитного полей остается постоянной. Энергия переходит из конденсатора в катушку в течение четверти периода, когда напряжение на конденсаторе убывает, а ток растет. В течение следующей четверти периода энергия переходит из катушки в конденсатор. Источник энергии питает только активное сопротивление.

Резонанс токов

Резонанс в идеальной цепи

Резонанс токов наступает при параллельном соединении индуктивности и емкости. Для обобщения анализов включим в цепь параллельно индуктивности и емкости активное сопротивление (рис. 6.7).

По первому закону Кирхгофа можно записать:

.

Запишем это выражение в комплексной форме:

,

где , , .

Вынесем напряжение за скобку, получим

.

Условием резонанса токов является равенство индуктивной и емкостной проводимостей:

.

Векторная диаграмма для режима резонанса представлена на рис. 6.8. При равенстве индуктивной и емкостной проводимостей будут равны и токи . Направленные в противофазе, эти токи компенсируют друг друга, в цепи остается только активная составляющая тока, и общий ток будет совпадать по фазе с напряжением . Поэтому резонанс называют резонансом токов.

Общий ток в цепи можно представить как ,

где – полная комплексная проводимость, модуль которой равен

.

С учетом условия резонанса, получим, что , то есть проводимость цепи минимальна, следовательно, и ток будет минимальным – это признак резонанса токов.

Из условия резонанса получим выражение для резонансной частоты

.

То есть, как и при резонансе напряжений, добиться резонанса токов можно, изменяя один из трех параметров ω, L, C.

Резонанс в реальной цепи

Реальная катушка и реальный конденсатор обладают не только реактивным, но и активным сопротивлением. Катушка – сопротивлением обмотки, конденсатор – сопротивлением токам утечки. В этом случае при большой добротности катушки или конденсатора активное сопротивление может оказаться функцией частоты.

Под добротностью катушки будем понимать отношение её индуктивного сопротивления к активному.

.

Под добротностью конденсатора – отношение его емкостного сопротивления к активному

.

Рассмотрим цепь, содержащую реальные катушку и конденсатор, представленную на рис. 6.9.

Условием резонанса токов в такой цепи является равенство нулю реактивной проводимости .

Комплексную проводимость цепи можно выразить через комплексные сопротивления ветвей:

.

При резонансе b=0, то есть

. (6.1)

Из полученного выражения видно, что в отличие от идеальной цепи резонанс можно получить, регулируя не три параметра, а пять: .

Решая уравнение (6.1) относительно частоты, получим выражение для резонансной частоты

,

Рассмотрим частные случаи:

1. , тогда резонансная частота будет равна , как и в случае идеальной цепи.

2. , тогда при любом значении частоты реактивная проводимость равна нулю, то есть резонанс имеет место при любой частоте.

3. , – добротность невелика, тогда выражение под корнем отрицательно. Резонансная частота мнимая, резонанс невозможен.

При резонансе в реальной цепи, так же, как и в идеальной, ток минимален и имеет чисто активный характер.

Векторная диаграмма для режима резонанса представлена на рис. 6.10.

Из диаграммы видно, что токи в ветвях, содержащих катушку и конденсатор, различны, но равны их реактивные составляющие.

Контрольные вопросы и задания

1. Какой режим работы электрической цепи называют резонансом?

2. В каких цепях возможен резонанс напряжений?

3. Что является условием и признаком резонанса напряжений?

4. Поясните, какова природа резонанса напряжений.

5. Какой характер электрической цепи называют активно-индуктивным, активно-емкостным?

6. Как по векторной диаграмме определить характер электрической цепи?

7. Что называют волновым сопротивлением контура?

8. Что называют добротностью контура?

9. На какие свойства контура влияет добротность?

10. Что называется полосой пропускания?

11. В каких цепях возможен резонанс токов?

12. Что является условием и признаком резонанса токов?

13. Поясните природу резонанса токов.

14. Чем отличается резонанс токов в идеальной и реальной цепях?

15. Что называется добротностью катушки, конденсатора?

16. Какие частные случаи могут иметь место при резонансе в реальной электрической цепи?

17. Какие энергетические соотношения справедливы при резонансе?