Число обусловленности квадратной матрицы
Еще одной важной характеристикой матицы является ее число обусловленности. Число обусловленности является мерой чувствительности системы линейных уравнений A·x=b, определяемой матрицей A, к погрешностям задания вектора b правых частей уравнений. Чем больше число обусловленности, тем сильнее это воздействие и тем более неустойчив процесс нахождения решения. Число обусловленности связано с нормой матрицы и вычисляется по-разному для каждой из норм:
- cond1(A) – число обусловленности в норме L1;
- cond2(A) - число обусловленности в норме L2;
- conde(A) - число обусловленности в евклидовой норме;
- condi(A) - число обусловленности в ∞ -норме.
Задание 23. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты:
Обратите внимание на то, матрица A является хорошо обусловленной, а матрица B – плохо обусловленной (две ее строки определяют очень близкие системы уравнений, с точностью до множителя 3). Вторая строка примеров дает формальное определение числа обусловленности как произведения норм исходной и обратной матриц.
Ранг матрицы
Рангом матрицы называют наибольшее натуральное число k, для которого существует не равный нулю определитель k-го порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k столбцов и k строк матрицы. Для вычисления ранга используется функция rank(A).
Задание 24. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты:
Система линейных уравнений
Одном из основных вопросов, изучаемых линейной алгеброй, является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида:
ai1·x1+ai2·x2+…+aiN·xN=bi (1)
В матричном виде СЛАУ записывается в эквивалентном виде:
A·x=b,(2)
где A – матрица коэффициентов СЛАУ размерности N×N, x – вектор неизвестных,b – вектор правых частей уравнений.
СЛАУ имеет единственное решение, если матрица A является невырожденной, или по-другому, несингулярной, т. е. ее определитель не равен нулю. С вычислительной точки зрения, решение СЛАУ не представляет трудностей, если матрица A не очень велика. С большой матрицей проблем тоже не возникает, если она не очень плохо обусловлена. В MathCAD можно решать СЛАУ как в более наглядной форме (1), так и в более удобной для записи форме (2). Для первого способа следует использовать вычислительный блок Given/Find (см. лабораторное занятие 4), а для второго – встроенную функцию:
lsolve(A,b) –решение системы линейных уравнений;
Здесь A- матрица коэффициентов системы, b – вектор правых частей.
Задание 25. Используя встроенную функцию lsolve решить СЛАУ, представленную матрицами A и b:
Встроенную функцию допускается применять и при символьном решении СЛАУ. Например:
В некоторых случаях для большей наглядности представления СЛАУ, ее можно решить как систему нелинейных уравнений, применяя численные методы.
Задание 26. Реализуйте следующий пример и проанализируйте полученные результаты:
Внутри оператора Given ставится не обычный знак равно, а булево равенство. Этот знак можно поставить либо используя палитру Булево, либо с помощью сочетания клавиш Ctrl и =. Внутри последнего оператора стоит обычный знак равенства.
Обратите внимание на то, что при численном решении всем неизвестным требуется присвоить начальные значения. Они могут быть произвольными, так как решение СЛАУ с невырожденной матрицей единственно. Сравните результаты, полученные в задании 25 и задании 26.