Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим

Определитель.

Определитель (детерминант) квадратной матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru – это число Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.

1. Определителем матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru порядка Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru называется единственный элемент этой матрицы: Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

2. Определителем матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru порядка Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru называется число

Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , (2.1)

где Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru – определитель квадратной матрицы порядка Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , полученной из Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru вычеркиванием первой строки и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru -го столбца.

Базисный минор и ранг матрицы.

В матрице Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru размеров Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru минор Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru -го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru -го порядка равны нулю или их вообще не существует.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора.

Теорема о базисном миноре. В произвольной матрице Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Теорема о ранге матрицыРанг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

Теорема (необходимое и достаточное равенство нулю определителя)Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов (одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

Понятия линейной зависимости и линейной независимости векторов

Вектор Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru называется линейной комбинацией векторов Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , если Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , где Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru – некоторые числа.

Система из Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru векторов Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru называется линейно зависимой, если существуют такие числа Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru не все равные нулю одновременно, что справедливо равенство Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru . (*) т.е. линейная комбинация является нулевым вектором.

Система из Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru векторов Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru называется линейно независимой, если равенство (*) возможно только при Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Обратная матрица.

Пусть Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru – квадратная матрица порядка Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru . Матрица Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru равенствам: Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , называется обратной. Если определитель матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru равен нулю ( Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ), то для нее не существует обратной.

Теорема о существовании и единственности обратной матрицы

Квадратная матрица Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну, которая вычисляется по формуле: Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , где Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru – матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru . Матрица Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru называется присоединенной матрицей по отношению к матрице Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Системы линейных алгебраических уравнений

Правило Крамера. Если определитель Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru матрицы системы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru линейных уравнений с Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,

где Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru -го столбца столбцом свободных членов, т.е.

Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Теорема Кронекера–Капелли. Система Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Любая совокупность Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru линейно независимых решений Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.

Структура общего решения неоднородной системы. Общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы:

Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Собственные векторы

Пусть Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru – квадратная матрица Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru -го порядка. Ненулевой столбец Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , удовлетворяющий условию Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , (*)

называется собственным вектором матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru . Число Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru в равенстве (*) называется собственным значением матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru . Говорят, что собственный вектор Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru соответствует (принадлежит) собственному значению Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Характеристическое уравнение: Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ее спектром. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).

Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы

Для нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru -го порядка надо выполнить следующие действия.

1. Составить характеристический многочлен матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

2. Найти все различные корни Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru характеристического уравнения Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ; кратности Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ( Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ) корней определять не нужно.

3. Для корня Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru найти фундаментальную систему Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru решений однородной системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , где Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , отвечающие собственному значению Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru : Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,

где Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru – отличные от нуля произвольные постоянные. Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , образуют ненулевые столбцы вида Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Повторить п.3, 4 для остальных собственных значений Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,…, Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду. Для того чтобы квадратная матрица Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru -го порядка приводилась к диагональному виду Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы она имела Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru линейно независимых собственных векторов.

Следствие. Если матрица имеет простой спектр, то она приводится к диагональному виду.

Векторная алгебра.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ,

где Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru – величина угла между векторами Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Если векторы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Ненулевые векторы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ортогональны тогда и только тогда, когда Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если, наблюдая из конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден происходящим против часовой стрелки. Если описанный поворот виден происходящим по часовой стрелке, то упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левой тройкой.

Вектор Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru называется векторным произведением неколлинеарных векторов Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , если:

1) его длина равна произведению длин векторов Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru на синус угла между ними: Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ;

2) вектор Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ортогонален векторам Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru ;

3) векторы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru (в указанном порядке) образуют правую тройку.

Формула вычисления векторного произведения. Если векторы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru в правом ортонормированном базисе Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru имеют координаты Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru соответственно, то векторное произведение этих векторов находится по формуле: Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Геометрические приложения векторного произведения

1. Векторы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru коллинеарны тогда и только тогда, когда Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

2. Площадь Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru параллелограмма, построенного на векторах Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , вычисляется по формуле: Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

3. Высота Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru параллелограмма (треугольника), построенного на векторах Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , вычисляется по формуле: Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Смешанным произведением векторов Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru называется число Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , равное скалярному произведению вектора Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru на векторное произведение векторов Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru и Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru . Смешанное произведение обозначается Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru равен объему Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru параллелепипеда, построенного на этих векторах.

2. Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru векторы Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru , Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru компланарны.

Формула вычисления смешанного произведения.

Системы линейных алгебраических уравнений. Определитель (детерминант) квадратной матрицы – это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим - student2.ru .

Наши рекомендации