Матричные операции в MathCAD

Задачи линейной алгебры, решаемые в MathCAD, можно условно разделить на два класса.

Первый - это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реализованы в виде операторов и нескольких специфических функций, предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. д.

Второй класс - это более сложные действия, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как вычисление определителей и обращение матриц, вычисление собственных векторов и собственных значений, решение систем линейных алгебраических уравнений и различные матричные разложения.

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCAD в виде операторов, причем их запись максимально приближена к математическому значению. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Некоторые операции применимы только к квадратным матрицам N × N, некоторые допускаются только для векторов (например, скалярное произведение), а другие, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Создание матриц

Имеется два способа создать матрицу.

1-й способ. Использование команды создания массивов:

• Воспользоваться командой Вставка → Матрица;

• нажатие клавиш Ctrl+M;

• выбор пиктограммы с изображением шаблона матрицы на панели инструментов Матрицы.

В диалоговом окне указать размерность матрицы, т. е. количество ее строк m (Rows) и столбцов n (Columns). Для векторов один из этих параметров должен быть равен 1. При m = 1 получим вектор-столбец, а при n = 1- вектор-строку. Далее на экране появится шаблон , в который нужно ввести значения элементов массива.

Обращаться к отдельным элементам вектора или матрицы можно используя нижний индекс. Для элемента матрицы указываются два индекса, один – для номера строки, другой - для номера столбца. Чтобы ввести нижний индекс, нужно нажать клавишу [ после имени вектора или матрицы или выбрать команду на панели Матрицы.

2-й способ. Использование ранжированной переменной.

Ранжированная переменная используется для определения индекса (номера) элемента массива.

Например:

Операторы для работы с массивами

Обозначения: для векторов - V, для матриц - М и для скалярных величин - z.

Задания

1. Ввести в документ название лабораторной работы, вариант задания и фамилию студента

2. Создать квадратные матрицы А, В, D, размером (5,5,4 соответственно) первым способом

3. Исследовать следующие свойства матриц на примере преобразования заданных массивов:

• транспонированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспонированных матриц (A+B)^T=A^T+B^T ;

• транспонированная матрица произведения двух матриц равна произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (A*B)^T=B^T*A^T ;

• при транспонировании квадратной матрицы определитель не меняется : |D|=|D^T|;

• произведение квадратной матрицы на соответствующую ей квадратную дает единичную матрицу (элементы главной диагонали единичной матрицы равны 1, а все остальные – 0) D*D^-1=E.

4. Для матриц A,B найти обратные матрицы.

5. Найти определители матриц A,B.

6. Для матрицы А увеличить значения элементов в № раз, где № - номер варианта.

7. Для матрицы В увеличить значения элементов на №.

8. Создать вектор C вторы м способом, количество элементов которого равно 6.

9. Применить к матрицам А, В, D две-три встроенные матричные функции из диалога

10. Применить к вектору С две-три встроенные векторные функции инструмента «Вставить функцию».

11. Сохранить документ.

Контрольные вопросы

1. Как создать матрицу, вектор - строку, вектор - столбец?

2. Какие операторы есть для работы с матрицами?

3. Перечислите команды панели инструментов Матрицы.