Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.

8. События зависимые и независимые. Пример определения зависимости события.

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.

Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании (событие AA) не зависит от появления или не появления "герба" во втором испытании (событие BB). В свою очередь, вероятность появления "герба" во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события AA и BB независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события BB, вычисленная в предположении осуществления другого события AA, называется условной вероятностью события BB и обозначается P{B|A}P{B|A}.

Условие независимости события BB от события AA записывают в виде

P{B|A}=P{B}P{B|A}=P{B} , а условие его зависимости — в виде

P{B|A}≠P{B}P{B|A}≠P{B}. Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

9. Примеры применения теоретико-множественного подхода к определению вероятности события (задача о встрече, задача о магнитофонной ленте)

Подход к нахождению вероятности, реализуемый в формуле непосредственного подсчета вероятности можно использовать и тогда, когда множество равновозможных событий несчетно и интерпретируется как множество всех точек определенной области размера S_n, а множество событий, благоприятствующих событию А, интерпретируется определенной подобластью размера S_m; тогда

Поскольку данная формула предусматривает определение геометрических размеров (длин, площадей, объемов) областей, то вычислительную на ее основе вероятность часто называет еще геометрической.

Для решения задач с помощью данного подходя необходимо:

- уяснить существо и при необходимости дать словесную формулировку случайного события А, вероятность которого требуется нейти;

- построить область, точки которой интерпретируют все равновозможные события из определенной полной группы и найти ее размер – S_n;

построить подобласть, все точки которой интерпретируют равновозможные события из определенной полной группы и благоприятствуют событию А; найти ее размер S_m;

вычислить отношение .

В условиях ряда задач на эту тему могут отсутствовать явные указания на равновозможность событий, тогда следует принять обоснованные допущения.

На отрезке единичной длины наугад и независимо друг от друга выбираются две точки. Какова вероятность, что расстояние между этими точками будет не менее 1/3?

Решение. Обозначим: А - событие, заключающееся в том, что расстояние между выбранными точками не менее 1/3.

t1

Sm

t2

Рис. 1.1. Множества исходов опыта

Термин “наугад”, фигурирующий в условии, означает, что положение каждой точки равновозможно на отрезке единичной длины. Так как исход опыта характеризуется расположением двух точек, то естественно множество всех возможных исходов (событий), образующих полную группу, интерпретировать как множество точек "единич­ного" квадрата в системе t_1°t₂ (рис.1.1). Равновозможность выбора 1-ой точки на отрезке [0,l] оси оt₁ и равновозможность выбора 2-ой точки на отрезке [0,1] оси оt₂ обеспечивают равновозможность всех исходов опыта, интерпретируемых точками единичного квадрата.

Размер (площадь) области всех равновозможных событие S_n = 1 × 1 = 1. Равновозможные события, благоприятствующие А, интерпретируются точками квадрата, для которых удовлетворяется условие , т.е. отстоящими от диагона­ли по каждой из осей более чем на 1/3 (заштриховано на рис. 1.1). Площадь области благоприятных событий

При теоретико-множественном подходе к определению вероятностей событий следует для упрощения вычислений использовать свойства теории множеств.

10. Примеры применения правил сложения и умножения вероятности события.

Вероятностью события А называют отношение числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов: Р(А)=m/n.

Условной вероятностью события А (или вероятностью события А при условии, что наступило событие В), называется число Р_В(А) = Р(АВ)/Р(В), где А и В – два случайных события одного и того же испытания.

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий обозначается А+В.

Правила сложения вероятностей:

правило сложения вероятностей совместных событий А и В:
Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где Р(А) – вероятность события А, Р(В) – вероятность события В, Р(А+В) – вероятность появления хотя бы одного из двух событий, Р(АВ)- вероятность совместного появления двух событий.

правило сложения вероятностей несовместных событий А и В:
Р(А+В) = Р(А)+Р(В), где Р(А) – вероятность события А, Р(В) – вероятность события В.

Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в том, что каждое из них произойдет. Произведение двух событий обозначается АВ.

Правила умножения вероятностей:

правило умножения вероятностей зависимых событий А и В:
Р(АВ)= Р(А)*РА(В)= Р(В)*РВ(А), где РА(В) – условная вероятность наступления события В, если событие А уже наступило, РВ(А) – условная вероятность наступления события А, если событие В уже наступило;

правило умножения вероятностей независимых событий А и В:
Р(АВ) = Р(А)*Р(В), где Р(А) – вероятность события А, Р(В) – вероятность события В.

Среди 4-х лиц разыгрывается 2 выигрыша путем случайного извлечения из

ящика 4-х билетов (из них 2 выигрышных).Одинаковы ли шансы выиграть

для 4-х играющих? Когда выгоднее тащить билет?

Из колоды карт, содержащей 36 карт ,вынимают наугад 4.

Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один туз.

В колоде 36 карт, из них 4 туза и 32 - не тузы
вероятность первой карты не туз 32/36
вероятность второй карты не туз 31/35
вероятность третьей карты не туз 30/34
вероятность четвертой карты не туз 29/33
вероятность что из 4 карт хоть один был туз 1-29*30*31*32/(33*34*35*36) = 0,389526

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7 , для второго равна 0,8.

Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только

один из стрелков.

А1-попал первый стрелок р (А1)=0.7
А2-попал второй стрелок р (А2)=0.8
В1-первый стрелок не попал р (В1)=1-р (А1)=0.3
В2-второй стрелок не попал р (В2)=1-р (А2)=0.2
С-попал только один из стрелков
р (С) =р (А1)*р (В2)+р (А2)*р (В1)=0.38

Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов 24.Зачет будет сдан, если

а)либо студент ответит на первый предложенный вопрос ;

б)либо ,отказавшись ответить на 1-ый,ответит на второй .

Какова вероятность сдать зачет, если вопросы выбираются cлучайным образом?

Вероятность ответить сразу на первый вопрос равна 24/30. Вероятность не ответить на него равна 6/30. После этого остается уже только 29 вопросов. Вероятность ответить на второй раз равна 24/29.

Считаем, что третий раз уже вопрос не задают. Тогда вероятность сдать зачет равна 24/30 + 6/30*24/29

11. Формула полной вероятности (решение задачи типа прогнозирования результатов забега)

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н₁, Н₂,…, Н_п, равна:

где p(H_i) – вероятность i- й гипотезы, а p(A/H_i) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство.

Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН₁, АН₂,…, АН_п. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что

что и требовалось доказать.

Решение задачи типа прогнозирование результатов забега:

В забеге на 400 метров участвует Иванов. Событие А: Иванов выполнит норму.

Условия: солнечная погода(H1) с вероятностью 0,4;

пасмурно(H2) с вероятностью 0,3;

дождь(H3) ) с вероятностью 0,25;

снег(H4) ) с вероятностью 0,05.

Известно Р(А/H1)=0,8;

Р(А/H2)=0,9;

Р(А/H3)=0,6;

Р(А/H4)=0,3;

Определить вероятность того, что в забеге на 400 метров Иванов выполнит

норму.

Р(А)= 0,4*0,8+0,3*0,9+0,25*0,6+0,05*0,3=0,755=75%

Имеются 3 одинаковых на вид урны. В первой-2белых и 3черных шара,

во второй-4белых и 1черный шара, втретьей-3белых. Некто подходит

наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар.

Найти вероятность того, что шар белый.

Н₁=1 урна р(А/ Н₁)=0,4

Н₂=2 урна р(А/ Н₂)=0,8

Н₃=3 урна р(А/ Н₃)=1

Р(Н)=1/3 р(А)=1/3*0,4+1/3*0,8+1/3*1=11/15

12. Теорема гипотез (формула Байеса) Решение задач типа анализа результатов забега.

Формула Байеса:

,

где

— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

— вероятность гипотезы A при наступлении события B(апостериорная вероятность);

— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

— полная вероятность наступления события B.

13. Теорема гипотез (формула Байеса) Решение задачи типа повышения достоверности контроля состояния объекта.

Формула Байеса:

,

где

— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

— вероятность гипотезы A при наступлении события B(апостериорная вероятность);

— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

— полная вероятность наступления события B.

14. Случайная величина. Ряд распределения дискретной случайной величины.
Многоугольник распределения случайной величины.

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина - величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины СВ обозначают большими латинскими буквами , а принимаемые ими значения - малыми буквами

Из приведенного выше примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

называемой рядом распределения. При этом возможные значения СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней - соответствующие вероятности .

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

Работают независимо друг от друга 3 устройства. Вероятность нормальной работы 1-го устройства равна 0,8; второго 0,9; третьего 0,8.Построить ряд распределения для случайной величины

х-число работающих нормально устройств.

Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5, 0,6, 0,8. Построить ряд распределения СВ X - числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны , тогда вероятности их промахов равны . Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: .

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х - числа попаданий в цель.

- ни один из стрелков не попал в цель;

- один из стрелков попал в цель;

- двое стрелков поразили цель;

- три стрелка поразили цель.

Найдем соответствующие им вероятности :

Запись вида означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым.

(двое из трех поразили цель);

(три стрелка поразили цель)

Контроль:

	0,04	0,26	0,46	0,24

15. Функция распределения случайной величины. Демонстрационный пример построения функции распределения. Свойства функции распределения.

Функция распределения в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.

Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.

Пусть - произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется действительная числовая функция x =x (w ), w W , такая, что при любом действительном x .

Событие принято записывать в виде x < x. В дальнейшем случайные величины будем обозначать строчными греческими буквами x , h , z , …

Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретнойслучайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6} ; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I=[100, 3000]).

Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = F_x (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

F(x)определена на всей числовой прямой R;

F(x)не убывает, т.е. если x₁ x₂, то F(x₁) F(x₂);

F(- )=0, F(+ )=1,т.е. и ;

F(x) непрерывна справа, т.е.

16. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения. Свойства функции распределения.

Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:

Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х.
Формула и свойства справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.
Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству

Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x₁<x₂, то на основании формул имеем

Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием [x₁,x₂], ограниченной сверху кривой

Так как , а на основании формулы

, то

Пользуясь формулой (22), найдем как производную интеграла по переменной верхней границе, считая плотность распределения непрерывной**:

Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х, где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема.
На основании формулы , полагая x₁=x, , имеем

В силу непрерывности функции F(х) получим, что

Следовательно

Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю.
Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств

, , ,

Имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

так как

Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до :

,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

. (5.4.1)

Введем обозначение:

. (5.4.2)

Функция - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины .

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только длянепрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна . Величина называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок (рис. 5.4.2).

Рис. 5.4.2.

Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до (рис 5.4.3) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

*) Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок , не включая в него левый конец, т.е. отбрасывая знак равенства в .

Геометрически вероятность попадания величины на участок равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3.).

Рис. 5.4.3.

Формула выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

,

откуда по формуле (5.4.3) имеем:

.

Геометрически есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки (рис. 5.4.4).

Рис. 5.4.4.

Укажем основные свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

.

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что .

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:

1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения , как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения , как видно из формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением

а) Найти коэффициент а.

б) Найти плотность распределения .

в) Найти вероятность попадания величины на участок от 0,25 до 0,5.

Решение. а) Так как функция распределения величины непрерывна, то при , откуда .

б) Плотность распределения величины выражается формулой

в) По формуле (5.3.1) имеем:

.

Пример 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

при

при или .

а) Найти коэффициент а.

б) Построить график плотности распределения .

в) Найти функцию распределения и построить её график.

г) Найти вероятность попадания величины на участок от 0 до .

Решение. а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:

,

откуда .

б) График плотности представлен на рис. 5.4.5.

в) По формуле (5.4.4) получаем выражение функции распределения:

График функции изображен на рис. 5.4.6.

Рис. 5.4.6.

г) По формуле (5.3.1) имеем:

.

Тот же результат, но несколько более сложным путем, можно получить по формуле (5.4.3).

Пример 3. Плотность распределения случайной величины задана формулой:

.

а) Построить график плотности .

б) Найти вероятность того, что величина попадет на участок (-1, +1).

Решение. а) График плотности дан на рис. 5.4.7.

Рис. 5.4.7.

б) По формуле (5.4.3) имеем:

.

17. Понятия о способах представления многомерных данных. Использование пакета EXEL. Демонстрационные примеры.

Первый интерфейс сводных таблиц, называемых также сводными отчеты, был включен в состав Excel еще в 1993м году (версии Excel 5.0). Несмотря на множество полезных функциональных возможностей, он практически не применяется в работе большинством пользователей Excel. Даже опытные пользователи зачастую подразумевают под термином «сводный отчет» нечто построенное с помощью сложных формул.