Теорема умножения вероятностей

1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.

2. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: "появился "герб", "появилось 6 очков".

3. В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

4. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна р = 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие A).

5. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей (событие А)?

Теорема сложения вероятностей

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков..

3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятпость того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная. Отв. р = 44 / 45.

4. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.
У к а з а н и е. Если А — нет ни одной нестандартной детали, В — есть одна нестандартная деталь, то

P (A + B) = P (A) + P (B) = C⁶₈ / C⁶₁₀ + C¹₂ * C⁵₈ / C⁶₁₀.

Самостоятельная работа №5 Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности

Формула полной вероятности

Пусть событие А происходит совместно с одним из событий (гипотез) Н₁, Н₂,… Н_n, которые образуют полную группу событий. Тогда справедлива формула полной вероятности события А :

,

где Р(Н_к) – вероятность гипотезы Н_к, Р(А½Н_к) – условная вероятность А, т.е. вероятность появления события А при условии, что произошла гипотеза Н_к .

Пример. Три автомата изготовляют одинаковые детали.

Известно, что первый автомат производит 30% всей продукции, второй – 25% и третий – 45%. Вероятность изготовления детали, соответствующей стандарту, на первом автомате равна 0,99, на втором – 0,988 и на третьем – 0,988. все изготовленные за смену детали складываются вместе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.

Решение: Пусть событие А – взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы:

Н₁- взятая деталь изготовлена первым автоматом;

Н₂- взятая деталь изготовлена вторым автоматом;

Н₃- взятая деталь изготовлена третьим автоматом.

Вычислим вероятность гипотез.

Вычислим условные вероятности:

Р(А½Н₁) – вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту, если она изготовлена первым автоматом.

Вероятность события А подсчитываем по формуле полной вероятности :

Р(А)=0,3 ^.0,01+0,25 ^.0,012+0,45 ^.0,012=0,009.

Пример. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.

Решение: Пусть событие Н₁ состоит в том, что из первой урны во вторую перекатились два белых шара, событие Н₂ состоит в том, что перекатились два чёрных шара, а событие Н₃ состоит в том, что перекатились шары разного цвета. Можно вычислить вероятности Р(Н₁) = = 7/15, Р(Н₂) = = 1/15, Р(Н₃) = = 7/15 (при решении задачи полезно проверить выполнение необходимого условия ).

Если реализовалась гипотеза Н₁, то во второй урне оказалось 10 белых и 2 черных шара. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что из второй урны выкатился белый шар. Тогда Р(А/Н₁) = = 5/33. Если реализовалась гипотеза Н₂, то во второй урне оказалось 8 белых и 4 чёрных шара, и Р(А/Н₂) = = 4/33. Легко показать, что Р(А/Н₃) = = 3/22. Теперь можно воспользоваться формулой полной вероятности:

Р(А) = (5/33)×(7/15) + (4/33) (1/15) + (3/22) (7/15) = 47/330

Пример. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Найти вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.

Решение Обозначим через А событие, заключающееся в том, что вторая игра будет проводиться новыми мячами. Пусть гипотеза Н₁ состоит в том, что для первой игры были выбраны два новых мяча, гипотеза Н₂ состоит в том, что для первой игры были выбраны новый и играный мячи, гипотеза Н₃ состоит в том, что для первой игры были выбраны два играных мяча. Определим вероятности гипотез:

Р(Н₁) = ; Р(Н₂) = ; Р(Н₃) = .

Теперь вычислим условные вероятности события А.

Р(А/Н₁) = ; Р(А/Н₂) = ; Р(А/Н₃) = .

Осталось подставить результаты вычислений в формулу полной вероятности

Р(А) = .

Пример.На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока?

РешениеСобытие A – установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока – может произойти, если произойдет одно из несовместных событий: – установленный на машине двигатель изготовлен на первом, втором или третьем заводе соответственно. Эти события образуют полную группу, их вероятности:

, , ,

(Контроль: ).

По условию , , .

По формуле полной вероятности

.

Варианты заданий

Решить задачи

1. На фирме работают сотрудники разного возраста. Молодых сотрудников – 24, среднего возраста – 82 и пожилых – 16. Вероятность того, что молодого сотрудника отправят на повышение квалификации, равна 0,52; сотрудника среднего возраста – 0,54; пожилого – 0,36. Найдите вероятность того, что выбранного наудачу сотрудника отправят повышать квалификацию.

2. В библиотеке имеется 21 книга по истории, 34 книги –по математике, 25 книг – по юриспруденции. Вероятность того, что книга по истории занесена в электронный каталог, равна 0,33; по математике – 0,15; по юриспруденции – 0,61. Найдите вероятность того, что выбранная наудачу книга занесена в электронный каталог.

3. Пассажир за получение билета может обратиться в одну из трех касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, во вторую – 0,35, в третью – 0,25. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут проданы, равна для первой кассы 0,3, для второй – 0,4, для третьей – 0,6. Найти вероятность того, что пассажир купит билет.

Самостоятельная работа №6. Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса. Подготовка сообщения «Практические приложения теории вероятностей»

Формула Байеса

Пусть вероятности гипотез до опыта были Р(Н₁), Р(Н₂),… Р(Н_n). В результате опыта появилось событие А . Тогда условная вероятность Р(Н_к½А) гипотезы Н_к с учетом появления события А вычисляется по формуле Байеса:

.

Пример. На двух станках производят одинаковые детали, которые поступают на конвейер. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго. Первый станок дает в среднем 80% деталей отличного качества, а второй –90%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того , что она изготовлена на втором станке.

Решение Пусть событие А - взятая наудачу с конвейера деталь отличного качества.

Гипотезы:

Н₁- деталь изготовлена на первом станке;

Н₂- деталь изготовлена на втором станке.

Вероятность гипотез до появления события А:

Р(Н₁)=3/4; Р(Н₂)=1/4.

Условные вероятности

Вероятности того, что взятая наудачу с конвейера деталь окажется отличного качества, т.е. вероятность события А, вычисляется по формуле полной вероятности:

Искомая вероятность того, что взятая деталь отличного качества изготовлена на втором станке, вычисляется по формуле Байеса:

Пример. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара и шары во второй урне перемешались, из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую перекатились разноцветные шары.

Решение

Пусть событие Н₁ состоит в том, что из первой урны во вторую перекатились два белых шара, событие Н₂ состоит в том, что перекатились два чёрных шара, а событие Н₃ состоит в том, что перекатились шары разного цвета. Можно вычислить вероятности Р(Н₁) = = 7/15, Р(Н₂) = = 1/15, Р(Н₃) = = 7/15 (при решении задачи полезно проверить выполнение необходимого условия ).

Если реализовалась гипотеза Н₁, то во второй урне оказалось 10 белых и 2 черных шара. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что из второй урны выкатился белый шар. Тогда Р(А/Н₁) = = 5/33. Если реализовалась гипотеза Н₂, то во второй урне оказалось 8 белых и 4 чёрных шара, и Р(А/Н₂) = = 4/33. Легко показать, что Р(А/Н₃) = = 3/22. Теперь можно воспользоваться формулой полной вероятности:

Р(А) = (5/33)×(7/15) + (4/33) (1/15) + (3/22) (7/15) = 47/330

Вычисления подставим в формулу Байеса

Р(Н₃/А) = Р(А/Н₃)Р(Н₃)/ Р(А) = (3/22)(7/15)/( 47/33) = 7/47.

Пример Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

Решение Пусть событие В₀ состоит в том, что отправлен сигнал “0”, а событие В₁ – в том, что отправлен сигнал “1”. Пусть событие А₀ состоит в том, что принят сигнал “0”, с событие А₁ – в том, что принят сигнал “1”. Нас интересует Р(В₀/А₁). По условию

Р(В₀) = 0,7 Р(В₁) = 0,3

Р(А₀/ В₀) = 0,8 Р(А₁/ В₀) = 0,2

Р(А₁/В₀) = 0,8 Р(А₀/ В ₁) = 0,2

По формуле Байеса получаем

Р(В₀/А₁) = 0,2×0,7/(0,2×0,7+0,8×03) = 0,37.

Пример По цели независимо сбросили две бомбы.Вероятность попадания для каждой бомбы равна 1/2. При попадании одной бомбы цель поражается с вероятность 1/2, а при попадании двух бомб она поражается с вероятностью 2/3. Найти вероятность поражения цели.

Решение.Пусть события H₁, H₂ и H₃ состоят в попадании 0, 1 и 2 бомб соответственно. Событие A состоит в поражении цели. По формуле полной вероятности

P(A)=P(A|H₁)P(H₁)+ P(A|H₂)P(H₂)+ P(A|H₃)P(H₃).

P(A|H₁)=0, P(A|H₂)=1/2, P(A|H₃)=2/3, P(H₂)= ½, P(H₃)=1/4.

Поэтому, P(A)= (1/2)(1/2)+(2/3)(1/4)=5/12.

Варианты заданий

Решить задачи

1. В магазин поступают одинаковые электрические утюги: 80% с одного завода и 20% с другого. Известно, что первый завод выпускает 90% продукции, способной прослужить гарантийный срок, а второй завод – 95%. Какова вероятность, что купленный в магазине утюг прослужит гарантийный срок?

2. На сборку поступают изделия трех цехов: 50 изделий из первого цеха, 40 из второго и 30 из третьего. Вероятность того, что изделие первого цеха отличного качества, равна 0,8, для вто­рого цеха эта вероятность равна 0,9, для третьего - 0,8. Науда­чу взятое сборщиком изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность, что это изделие поступило из второго цеха?

3. Известно, что в партии из 600 лампочек 200 лам­почек изготовлено первым заводом, 250 - вторым и 150 - третьим. Известно также, что вероятности изготовления стандартной лампоч­ки 1-м, 2-м и 3-м заводом соответственно равны 0,97 ; 0,91 ; 0,93. Какова вероятность того, что наудачу взятая из партии лам­почка окажется стандартной?

4. Трое охотников одновременно выстрелили по медведям, кото­рый был убит одной пулей. Определить вероятность того, что медведь был убит первым охотником, если вероятности попадания для них рав­ны соответственно: 0,2 ; 0,4 ; 0,6.

5. Была проведена одна и та же контрольная работа в трех параллельных группах. В 1-ой группе, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, выполненных на «отлично»; во 20ой, где 28 учащихся – 6 работ, в 3-ей, где 27 учащихся – 9 работ. Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана наудачу, окажется выполненной на «отлично».

6. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

7. В вычислительной лаборатории имеется шесть клавишных автомата и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95. для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

8. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95. Для винтовки без оптического прицела 0,8. Стрелок поразил мишень их наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Самостоятельная работа №7 Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы Бернулли