Метод наименьших квадратов для степенной, показательной, дробно-линейной, логарифмической, гиперболической и дробно-рациональной приближающщих функций.

Нахождение приближающей функции в виде линейной функцииРассмотрим приближающую функцию в виде F(x,a,b) = ax+b.

Наша задача – отыскать значения параметров a и b.

n	n	- b)2
Рассмотрим функцию F(a, b) = å[yi	- F (xi , a, b)]2илиF(a, b)=å(yi - axi
i=1	i=1
Задача сводится к отысканию	минимума функции Ф(a,b).	Используем

необходимое условие экстремума: ^¶_¶^F_a = 0 ; ^¶_¶^F_b = 0 .

¶F = å2[yi - F (xi , a, b)]× ¶F

n

¶a

i=1

¶a

¶F = å2[yi - F (xi , a, b)]× ¶F

n

¶b

i=1

¶b

Учитывая, что

¶F

= x ,

¶F

= 1, получим систему вида:

¶b

¶a

n

ïìå(yi - axi - b)xi =0

ï i=1

í n

ïå(yi - axi - b)

= 0

ï

î i=1

n

n

n

n

n

n

ïìåxi yi - aåxi 2- båxi =0

ïìaåxi 2+ båxi =åxi yi

Далее, íï i=1

i=1

i=1

или íï i=1

i=1

i=1

n

n

n

n

ïå yi - aåxi - b × n =0

ïaåxi + b × n =

å yi

ï

i=1

ï

i=1

î i=1

î i=1

Выразим значения a и b из системы уравнений:

	n		n	n
a =	nåxi yi -åxi å yi
i=1		i=1	i=1
n		æ	n	ö2
	nåxi		- ç	åxi ÷
	i=1		è i=1	ø

	n	n		n	n
b =	nåxi 2	å yi -åxi yi åxi
i=1	i=1		i=1	i=1
n		æ n	ö2
	nåxi		- çåxi ÷
	i=1		è i=1	ø

Существует показатель, характеризующий тесноту линейной связи между X и Y.

Это (выборочный)коэффициент корреляции. Он вычисляется по формуле:

n

n

n

r =

nåxi yi -

åxi å yi

i=1

i=1

i=1

æn

æ n

ö

2 ö

æn

æ n

ö

2 ö

ç

- çåxi ÷

÷

×

ç

- çå yi ÷

÷

çnåxi

÷

çnå yi

÷

è i =1

è i=1

ø

ø

è i=1

è i=1

ø

ø

Значение коэффициента корреляции всегда удовлетворяет соотношению: -1£r£1. Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки.

Если коэффициент корреляции равен нулю, то говорят, что переменные X и Y некоррелированы.