Метод итераций для систем нелинейных уравнений

Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными:

и требуется найти действительные корни системы с заданной степенью точности.

Предположим, что система допускает лишь изолированные корни. Число этих корней и их приближенные значения можно установить, построив кривые , и определив координаты их точек пересечения.

Для применения метода итераций система приводится к виду:

Функции и называются итерирующими. Алгоритм решения задается формулами

,

где и - некоторое начальное приближение.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.1 Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одно и только одно решение системы. Если:

1. функции и определены и непрерывно дифференцируемы в R,

2. начальные приближения , и все последующие приближения, x_n ,y_n для n=1,2… принадлежат R,

3. в R выполнены неравенства

,

то процесс последовательных приближений сходится к решению системы, т.е.

.

Эта теорема останется верной, если условие 3 заменить условием

Оценка погрешности n-го приближения дается неравенством

, (4.2)

где M – наибольшее из чисел , входящих в неравенства. Сходимость метода итераций считается хорошей, если , при этом .

Пример 4.3 Решить нелинейную систему уравнений методом итераций в Mathcad с точностью 0,005 Пусть дана система

Выразим из первого уравнения х, а из второго у и перепишем данную систему в виде:

Отделение корней произведем графически. Построим функции и на одном графике. Они имеют одну точку пересечения в области

D(0 < x < 0.25; -1.9 < y < -2.2) . Выберем за начальное приближение для метода итераций x0 = 0.25, y0 = -1.9

Проверим условие сходимости теоремы в области D(а < x < b; c < y < d)

Считать будем до тех пор, пока не достигнем нужной точности

В данном случае метод итераций сходится достаточно медленно, так как значение М близко к единице   Ответ: x=0.151 y=-2.034

Рис.4.3. Решение примера 4.3 в Mathcad

Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными

Пусть дана система нелинейных уравнений специального вида:

где функции действительны и определены и непрерывны в некоторой окрестности изолированного решения этой системы, или в более компактной записи:

,

где , а .

Для нахождения вектора-корня иногда можно использовать метод итерации

.

Если система уравнений задана в общем виде ,

где - вектор-функция, определенная и непрерывная в окрестности изолированного вектора-корня , то ее записывают в эквивалентном виде

, (4.3)

где - итерирующая вектор-функция, которую ищут в виде

.

Матрица L выбирается так (см. выше). Предполагается, что матрица неособенная.

Подставив в (4.3), получим итерационную формулу

.

Глава 5. Интерполяция

Вычисление значений функции y=f(x) – задача, с которой постоянно приходится сталкиваться на практике. В силу различных причин вычисление f(x)часто бывает затруднительно, например функция задана таблично, а вычисление необходимо проводить в точках не совпадающих с табличными. Вычисление f(x) может быть громоздким, требовать много операций. В таких условиях целесообразно заменить f(x) некоторой близкой к ней функцией g(x), которая вычисляется быстро и надежно, а погрешность приближения f(x)-g(x) достаточно мала. Требование совпадения функции g(x) с функцией f(x) в некоторых фиксированных точках приводит к задаче интерполяции.