Векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций

Пусть требуется решить систему уравнений

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , (7.1)

где векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru ,…, векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru – заданные, вообще говоря, нелинейные (среди них могут быть и линейные) вещественнозначные функции векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru вещественных переменных векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru .

Обозначив

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru ,

данную систему (7.1) можно записать одним уравнением.

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru (7.1a)

относительно векторной функции F векторного аргумента векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru .

Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как зада­чу о нулях нелинейного отображения векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru .

Начнем изучение методов решения нелинейных систем с наиболее простого метода.

Пусть система (7.l) имеет вид (преобразована к виду):

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru (7.2)

или иначе, в компактной записи,

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , (7.2а)

где

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru .

Для этой задачи о неподвижной точке нелинейного отображе­ния векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru запишем формально рекуррентное равенство

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru (7.3)

которое определяет метод простых итераций (МПИ) (или метод последовательных приближений) для задачи (7.2).

Если начать процесс построения последовательности векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru с некоторого вектора векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru и продолжить по формуле (7.3), то при определенных условиях эта последователь­ность со скоростью геометрической прогрессии будет прибли­жаться к вектору векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru – неподвижной точке отображения векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru . А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 7.1. Пусть функция векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru и замкнутое множество векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru таковы, что:

1) векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru ;

2) векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru

Тогда векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru имеет в векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru единственную неподвижную точку векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru ; последовательность векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , определяемая МПИ (7.3), при любом векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru сходится к векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru и справедливы оценки

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru .

Однако практическая ценность такой теоремы не так велика из-за неконст­руктивности ее условий. В случаях, когда имеется хорошее началь­ное приближение векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru к решению векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , больший интерес для прило­жений может представить следующая теорема

Теорема 7.2. Пусть функция векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru дuфференцируема* в замкнутом шаре** векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru причем векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru . Тогда, если центр векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru и радиус векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru шара векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , таковы, что векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru , то справедливо за­ключение теоремы 7.1 с векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru .

Учитывая, что в линейном случае, как правило, по сравнению с МПИ более эффективен метод Зейделя (см. (6.12) и теорему 6.7), здесь может оказаться полезной подобная модификация. А именно, вместо (7.3) можно реализовать следующий метод покоординатных итераций:

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru (7.4)

Заметим, что как и для линейных систем, отдельные урав­нения в методе (7.4) неравноправны, т.е. перемена местами урав­нений системы (7.2) может изменить в каких-то пределах число итераций и вообще ситуацию со сходимостью последовательности итераций. Чтобы, применить метод простых итераций (7.3) или его зейделеву модификацию (7.4) к исходной системе (7.1), нужно, как и в скалярном случае, сначала тем или иным способом привести ее к виду (7.2). Это можно сделать, например, ум­ножив (7.1а) на некоторую неособенную векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru -матрицу – векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru и прибавив к обеим частям уравнения – векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru вектор неизвестных векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru . Полученная система

векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru

эквивалентна данной и имеет вид задачи о неподвижной точке (7.2а). Проблема теперь, состоит лишь в подборе матричного параметра векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru такого, при котором вектор-функция векторная запись нелинейных систем уравнений. метод простых итераций - student2.ru обладала бы нужными свойствами.

Наши рекомендации