Система обслуживания M/M/m:K/M конечное число источников нагрузки, m серверов и конечный накопитель.

Основной смысл изучения такой системы состоит в том, что входной поток в такой системе может рассматриваться как примитивный, то есть параметр потока зависит от числа требований, находящихся на обслуживании. Эта зависимость определяется таким образом, что из M источников пуассоновского потока с постоянным параметром λ получают отказ те требования, которые поступают в систему тогда, когда в ней уже имеются K заявок. Система описывается процессом типа гибели-размножения с диаграммой интенсивностей переходов на рис. 1.19.

Рис. 1.19 Диаграммой интенсивностей переходов для СМО типа M/M/m:K/М.

и параметрами интенсивностей:

Воспользовавшись формулам для стационарных вероятностей, получим:

Формула для вероятности простоя очень громоздка и здесь не приводится. Если считать, что K = m , то есть в системе только чистые потери (длина буфера совпадает с числом серверов), то распределение стационарных вероятностей может быть дано в виде так называемого распределения Энгсета:

Эта формула имеет следующую интерпретацию.

Некоторая система массового об­служивания, имеющая М входных линий, распределяет поступающие с них заявки на m серверов. Интен­сивность входного потока зависит от того, сколько серверов занято об­служиванием таким образом, что интенсивность входного потока ли­нейно убывает с числом занятых серверов : .

Максимальная нагрузка, поступающая на один вход, определяется как: .

Вероятность того, что при показательном законе распределения времени обслуживания в стационарном режиме будет занято k серверов, будет определяться как раз вышеприведенной формулой Энгсета. Систему такого типа можно назвать M/M/m:M. Полученное распределение также позволяет рассчитать вероятность того, что будут заняты все серверы. Для этого достаточно положить k = m . Как видно, она отличается от полученной ранее формулы потерь Эрланга. Это распределение также часто встречается на практике и задается функцией Энгсета:

.

На практике применима также модель Молина (Molina), которая также называется моделью потерянных вызовов (LCH – Lost Calls Held). Это математическая модель блокировки телефонного трафика, в которой блокированные обращения сохраняются в течение определенного времени задержки, хотя и не обслуживаются. Эта модель подобна модели, описываемой С – формулой Эрланга, с которой иногда и путается. Вероятность блокировки для N линий, создающих интенсивность А имеет вид:

.

Система типа M/M/m:m.

Как видно из обозначения, мы рассматриваем систему, имеющую одинаковое число входных линий и обслуживающих серверов, например выходных линий. Очевидно, что блокировка в такой системе невозможна. Диаграмма интенсивностей переходов состояний может быть представлена в виде совокупности несвязных m простейших подсистем с двумя состояниями – свободно/занято. ( Рис. 1.20)

Рис. 1.20 Диаграмма интенсивностей переходов состояний для СМО типа M/M/m:m.

Вероятности того, что k подсистем находятся в состоянии «занято», описывается формулой Энгсета:

.

Нетрудно видеть, что в этом случае в знаменателе записан бином Ньютона, и формула для вероятностей может быть существенно упрощена:

Полученное распределение вероятностей носит название биноминального или распределения Бернулли. Величина a определяет вероятность занятости сервера, а величина (1-a) – вероятность его простоя. Поскольку таких серверов m , то распределение вероятностей будет таким же, как для классической задачи о бросании m монет. Следует отметить также что