Линейные уравнения второго порядка
1. Основные понятия.
Линейными дифференциальными уравнениями второго порядка называются уравнения вида
(I)
функции , , непрерывны в некотором промежутке .
Уравнение (I) называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью, если . Если , то уравнение называется линейным однородным.
Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.
Теорема 1. Общее решение линейного неоднородного уравнения складывается из общего решения соответствующего ему однородного уравнения и частного решения неоднородного:
Ограничимся рассмотрением линейных уравнений с постоянными коэффициентами, которые широко используются в механике, электротехнике.
2. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид: , (II)
где – вещественные числа.
Характеристическим уравнением называется уравнение , его корни и . Характеристическое уравнение получают заменой в данном линейном однородном уравнении.
Теорема 2.1) Если корни характеристического уравнения вещественные различные и , то общее решение однородного уравнения
, (II.I)
2) если = = , то
, (II.II)
3) если корни комлексно-сопряженные то
(II.III)
Пример 1. Найти общее решение .
Решение. Составим характеристическое уравнение ; ; , по (II.I) имеем .
Пример 2. Найти частное решение уравнения , если ; .
Решение. По (II.II) общее решение Выбираем и так, чтобы выполнялись начальные условия: ; ; ; ; . Подставив найденные и в общее решение, получим искомое частное решение: .
Пример 3. Найти общее решение .
Решение. ; по (II.III) имеем общее решение:
Пример 4. Найти общее решение уравнения гармонических колебаний .
Решение. по (II.III) общее решение
3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами . Подбор частного решения методом неопределенных коэффициентов
Этот метод, наиболее важный для приложений, применим только в том случае, когда правая часть уравнения имеет вид квазиполинома:
где и – действительные числа, и – многочлены степеней и .
Теорема 3.Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде
1) если то (II.IV)
где – многочлены с неопределенными коэффициентами степени , записываются так: и т.д. Чтобы найти неопределенные коэффициенты, нужно частное решение подставить в заданное уравнение.
2) если то (II.V)
Коэффициенты и находят аналогично коэффициентам Если в функцию входит только или , в частное решение надо включать оба слагаемых.
На основании теоремы 1 общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного (теорема 2) и частного неоднородного (теорема 3).
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид где – общее решение соответствующего однородного уравнения а – частное решение данного неоднородного уравнения. Решая характеристическое уравнение , найдем его корни: . По формуле (II.II):
Найдем частное решение неоднородного уравнения с правой частью: По формуле (II.IV) коэффициенты А и В подлежат определению из условия, что решение данного уравнения. Находим производные:
подстановка , и в уравнение дает (после сокращения на ):
т.е. Для того, чтобы равенство было верным, достаточно совпадения коэффициентов при одних и тех же степенях в обеих частях равенства:
Из этих уравнений находим А=1, В=2. Следовательно, функция является частным решением данного уравнения, а функция
его общим решением.
Пример 2. Найти общее решение уравнения:
Решение. Характеристическое уравнение: . Его корни: По формуле (II.I): .
Вид правой части здесь такой же, как в примере 5, но поэтому Следовательно,
Подстановка в уравнение, сокращение на дает: , ; , . Тогда:
Общее решение данного уравнения :
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение: Его корни: Общее решение однородного уравнения: Правая часть исходного уравнения: Частное решение найдем по формуле (II.IV):
Подставим в исходное уравнение: . Тогда .
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . По формуле (II.III):
по формуле (II.V):
Подстановка в дифференциальное уравнение дает: Для того чтобы это равенство выполнялось, достаточно совпадения коэффициентов при в обеих частях равенства:
Решая систему, получим Тогда частное решение неоднородного уравнения: и общее решение данного уравнения
Индивидуальные задания
1 — 10. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
1. . | 2. . |
3. . | 4. . |
5. . | 6. . |
7. . | 8. . |
9. . | 10. . |
11 — 20. Проинтегрировать уравнение.
11. . | 12. . |
13. . | 14. . |
15. . | 16. . |
17. . | 18. . |
19. . | 20. . |
21 — 30. Найти общее решение дифференциального уравнения.
21. . a) , б) . |
22. . a) , б) . |
23. . a) , б) . |
24. . a) , б) . |
25. . a) , б) . |
26. . a) , б) . |
27. . a) , б) . |
28. . a) , б) |
29. . a) , б) . |
30. . a) , б) . |
31 — 40. Найти общее решение дифференциального уравнения.
31. . | 32. . |
33. . | 34. . |
35. . | 36. . |
37. . | 38. . |
39. . | 40. . |
Литература
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах - ч.I, II – М.: Высшая школа, 1986.
2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике –
ч.I,II– М.: Рольф, 2001.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990.
МАТЕМАТИКА
3 семестр
Методические указания и индивидуальные задания
Составитель
ТЕРЕХОВА Наталья Владимировна
ОСИНЦЕВА Марина Александровна
Подписано в печать Формат 60х90 1/16. Усл. печ. л. 2.
Тираж 30 экз. Заказ № .