Линейные уравнения второго порядка

1. Основные понятия.

Линейными дифференциальными уравнениями второго порядка называются уравнения вида

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru (I)

функции Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , Линейные уравнения второго порядка - student2.ru непрерывны в некотором промежутке Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Уравнение (I) называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью, если Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . Если Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , то уравнение называется линейным однородным.

Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.

Теорема 1. Общее решение линейного неоднородного уравнения Линейные уравнения второго порядка - student2.ru складывается из общего решения Линейные уравнения второго порядка - student2.ru соответствующего ему однородного уравнения и частного решения Линейные уравнения второго порядка - student2.ru неоднородного:

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Ограничимся рассмотрением линейных уравнений с постоянными коэффициентами, которые широко используются в механике, электротехнике.

2. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , (II)

где Линейные уравнения второго порядка - student2.ru – вещественные числа.

Характеристическим уравнением называется уравнение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , его корни Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . Характеристическое уравнение получают заменой Линейные уравнения второго порядка - student2.ru в данном линейном однородном уравнении.

Теорема 2.1) Если корни характеристического уравнения вещественные различные Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , то общее решение однородного уравнения

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , (II.I)

2) если Линейные уравнения второго порядка - student2.ru = Линейные уравнения второго порядка - student2.ru = Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , то

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , (II.II)

3) если корни комлексно-сопряженные Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru то

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru (II.III)

Пример 1. Найти общее решение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Решение. Составим характеристическое уравнение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ; Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ; Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , по (II.I) имеем Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Пример 2. Найти частное решение уравнения Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , если Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ; Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Решение. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru По (II.II) общее решение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Выбираем Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и Линейные уравнения второго порядка - student2.ru так, чтобы выполнялись начальные условия: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ; Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ; Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ; Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ; Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . Подставив найденные Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и Линейные уравнения второго порядка - student2.ru в общее решение, получим искомое частное решение: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Пример 3. Найти общее решение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Решение. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ; Линейные уравнения второго порядка - student2.ru по (II.III) имеем общее решение: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Пример 4. Найти общее решение уравнения гармонических колебаний Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Решение. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru по (II.III) общее решение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . Подбор частного решения методом неопределенных коэффициентов

Этот метод, наиболее важный для приложений, применим только в том случае, когда правая часть уравнения имеет вид квазиполинома:

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

где Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и Линейные уравнения второго порядка - student2.ru – действительные числа, Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и Линейные уравнения второго порядка - student2.ru – многочлены степеней Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Теорема 3.Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде

1) если Линейные уравнения второго порядка - student2.ru то (II.IV)

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

где Линейные уравнения второго порядка - student2.ru – многочлены с неопределенными коэффициентами степени Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , записываются так: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и т.д. Чтобы найти неопределенные коэффициенты, нужно частное решение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru подставить в заданное уравнение.

2) если Линейные уравнения второго порядка - student2.ru то (II.V)

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Коэффициенты Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и Линейные уравнения второго порядка - student2.ru находят аналогично коэффициентам Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Если в функцию Линейные уравнения второго порядка - student2.ru входит только Линейные уравнения второго порядка - student2.ru или Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , в частное решение надо включать оба слагаемых.

На основании теоремы 1 общее решение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного Линейные уравнения второго порядка - student2.ru (теорема 2) и частного неоднородного Линейные уравнения второго порядка - student2.ru (теорема 3).

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид Линейные уравнения второго порядка - student2.ru где Линейные уравнения второго порядка - student2.ru – общее решение соответствующего однородного уравнения Линейные уравнения второго порядка - student2.ru а Линейные уравнения второго порядка - student2.ru – частное решение данного неоднородного уравнения. Решая характеристическое уравнение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , найдем его корни: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . По формуле (II.II): Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Найдем частное решение неоднородного уравнения с правой частью: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru По формуле (II.IV) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru коэффициенты А и В подлежат определению из условия, что Линейные уравнения второго порядка - student2.ru решение данного уравнения. Находим производные:

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

подстановка Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и Линейные уравнения второго порядка - student2.ru в уравнение дает (после сокращения на Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ):

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru т.е. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Для того, чтобы равенство было верным, достаточно совпадения коэффициентов при одних и тех же степенях Линейные уравнения второго порядка - student2.ru в обеих частях равенства: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Из этих уравнений находим А=1, В=2. Следовательно, функция Линейные уравнения второго порядка - student2.ru является частным решением данного уравнения, а функция

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru его общим решением.

Пример 2. Найти общее решение уравнения: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Решение. Характеристическое уравнение: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . Его корни: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru По формуле (II.I): Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Вид правой части здесь такой же, как в примере 5, но Линейные уравнения второго порядка - student2.ru поэтому Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Следовательно,

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Подстановка в уравнение, сокращение на Линейные уравнения второго порядка - student2.ru дает: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , Линейные уравнения второго порядка - student2.ru ; Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . Тогда: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Общее решение данного уравнения Линейные уравнения второго порядка - student2.ru :

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Пример 3. Найти общее решение уравнения Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Решение. Характеристическое уравнение: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Его корни: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Общее решение однородного уравнения: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Правая часть исходного уравнения: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Частное решение найдем по формуле (II.IV):

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Подставим в исходное уравнение: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . Тогда Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Решение. Характеристическое уравнение Линейные уравнения второго порядка - student2.ru имеет корни Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . По формуле (II.III): Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru по формуле (II.V):

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Подстановка в дифференциальное уравнение дает: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Для того чтобы это равенство выполнялось, достаточно совпадения коэффициентов при Линейные уравнения второго порядка - student2.ru в обеих частях равенства:

Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Решая систему, получим Линейные уравнения второго порядка - student2.ru Тогда частное решение неоднородного уравнения: Линейные уравнения второго порядка - student2.ru и общее решение данного уравнения Линейные уравнения второго порядка - student2.ru

Индивидуальные задания

1 — 10. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 2. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
3. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 4. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
5. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 6. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
7. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 8. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
9. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 10. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

11 — 20. Проинтегрировать уравнение.

11. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 12. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
13. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 14. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
15. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 16. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
17. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 18. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
19. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 20. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

21 — 30. Найти общее решение дифференциального уравнения.

21. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
22. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
23. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
24. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
25. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
26. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
27. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
28. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru
29. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
30. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . a) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru , б) Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

31 — 40. Найти общее решение дифференциального уравнения.

31. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 32. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
33. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 34. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
35. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 36. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
37. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 38. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .
39. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru . 40. Линейные уравнения второго порядка - student2.ru .

Литература

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах - ч.I, II – М.: Высшая школа, 1986.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике –

ч.I,II– М.: Рольф, 2001.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990.

МАТЕМАТИКА

3 семестр

Методические указания и индивидуальные задания

Составитель

ТЕРЕХОВА Наталья Владимировна

ОСИНЦЕВА Марина Александровна

Подписано в печать Формат 60х90 1/16. Усл. печ. л. 2.

Тираж 30 экз. Заказ № .

Наши рекомендации