Исследование степенного ряда на сходимость.

Переходим к рассмотрению типового задания.

Пример: Найти область сходимости степенного ряда Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

Решение: Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.

1) На первом этапе находим радиус сходимости ряда по формуле:

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

2) Записываем интервал сходимости ряда Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru :

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru .

3) Проверяем сходимость ряда на концах интервала:

а) Рассматриваем правый конец интервала Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru , подставляем это значение в наш степенной ряд Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru :

При Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ruсходится (случай обобщенного гармонического ряда).

б) Берём левый конец интервала Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru и подставляем его в наш степенной ряд Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru :

При Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

Получен числовой знакочередующийся ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость.

Используем признак Лейбница:
1) Члены ряда убывают по модулю: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно – первое условие выполняется.

2) Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru – второе условие выполняется.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru – сходится (случай обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

Таким образом, степенной ряд Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru сходится на обоих концах найденного интервала.

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

!!! Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru .

Пример: Найти область сходимости ряда Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru .

Решение: Найдем радиус сходимости данного ряда.

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

Итак, ряд сходится при Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

Раскрываем модуль:

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru


И прибавляем ко всем частям единицу:
Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если x=-8, то получается следующий числовой ряд:

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

Получен числовой знакочередующийся ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость.

Используем признак Лейбница:
1) Члены ряда убывают по модулю: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно – первое условие выполняется.

2) Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru – второе условие выполняется.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Составим ряд из абсолютных членов:

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru .

По всем признакам для полученного числового ряда Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru следует применить предельный признак сравнения.

Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru . Таким образом, старшая степень знаменателя равна Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru .

Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru .
Используем предельный признак сравнения:

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru сходится вместе с рядом Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru .

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

2) Что происходит на другом конце интервала?
При x=10. Получаем ряд

Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ruсходится (Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали).

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru или Исследование степенного ряда на сходимость. - student2.ru

Наши рекомендации