Теоретико-множественный подход к определению вероятности события. Описание области системой линейных неравенств.Исключение лишних неравенств.

1.1.Основные теоретические сведения.

Число различных подходов к определению вероятности события очень велико, но их можно классифицировать следующим образом:

1.Непосредственный подсчет вероятностей (классическое опре­деление вероятности, математическая вероятность).

2.Теоретико-множественный подход к определению вероятности события (геометрическая вероятность, аксиоматический подход).

3.Частота или статистическая вероятность события.

Прежде чем рассматривать указанные подходы, определим единицу измерения вероятности события. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события – выпадание герба или решки при бросании монеты. Противоположностью достоверного события является невозможное событие – то, которое в данном опыте вообще не может произойти.

Математики договорились приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному – равную нулю. Все другие события "А" – возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями Р(А), лежащими между нулем и единицей. Таким об­разом, в общем случае вероятность Р(А) удовлетворяет условию:

.

1.1.1. Непосредственный подсчет вероятностей

Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов (событий) можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Этих условий три.

1. Необходимо, чтобы различные исходы опыта – события были бы "объективно" одинаково возможными (равновозможными).

Пример – выпадение заданной грани симметричной игральной кос­ти "объективно" равновозможно.

2. События в данном опыте должны образовывать полную группу. Это означает, что в результате опыта неизбежно должно поя­виться хотя бы одно из событий группы.

Пример событий, образующих полную группу – выпадание 1,2,3,4,5,6 очков при бросании игральной кости.

3. События в данном опыте должны быть несовместимы. Это означает, что в результате опыта никакие два события не могут появиться вместе.

Пример – при бросании игральной кости выпадает лишь одна грань.

События, которые удовлетворяют указанным условиям 1,2,3, называются случаями. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев (к схеме урны).

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте можно вычислить по соотношению:

, (1.1)

где - число случаев, благоприятных (соответствующих) событию А; - общее число случаев.

Пример 1.1. В полученной партия деталей оказалось 200 дета­лей первого сорта, 100 деталей – второго сорта и 50 деталей – третьего сорта. Наудачу вынимается одна из деталей. Чему равны вероятности получить детали первого, второго и третьего сорта?

Решение. В нашем примере , обозначим соответственно через А, В, С случайные события, состоящие, соответственно, в получении деталей первого, второго и третьего сорта.

Легко видеть, что

Р(А) = 200:350; Р(В) = 100:350; Р(С) = 50:350.

Пример 1.2. Опыт состоит в одновременном (или последователь­ном) бросании двух монет. Найти вероятность события А = {хотя бы на одной монете выпадет герб}.

Решение. С первого взгляда может показаться, что в данной задаче три случая: A₁ -{два герба}; А₂ = {две решки}; А₃ ={герб и решка}. Однако есть сомнение, что эти события неравновозможны! Попытаемся составить для данного опыта схему случаев. Для этого назовем монеты первая и вторая, они вынимаются из урны и бросаются одновременно (или последовательно). Тогда можно назвать следующие случаи: В₁ = {на первой монете герб, на второй - герб}; В₂ ={на первой монете решка, на второй - решка}; В₃ = {на первой монете герб, на второй - решка}; В₄ = {на первой монете решка, на второй - герб).

Названные события В₁, В₂, В₃, В₄ можно считать равновероятными за счет перемешивания монет в урне в симметричности самих монет относительно герба и решки.

Найдем Р(А): n = 4; m_A = 3;Р(А) = 3:4.

Р(А₁) = 1:4;Р(А₂) = 1:4;Р(А₃) = 2:4.

Непосредственный подсчет вероятностей но формуле (1.1) может потребовать для вычисления чисел n и использования комбинаторных формул числа перестановок, размещений, сочетаний:

Р_n = n! - число перестановок из n элементов;

- число размещений из n элементов по (учитывается порядок расположения);

- число сочетаний из n элементов по (порядок расположения не учитывается).

Пример 1.3. В урне N перенумерованных шаров, k из них случайным образом по одному извлекаются и откладываются в сторону.

Определить вероятность того, что номера последовательно извлекаемых шаров составят последовательность 1,2, ...., k (событие А).

Решение. Регламентируемый в условия случайный характер поочередного извлечения шаров позволяет допустить, что в результате рассматриваемого опыта любая последовательность k номеров из общего числа Nпоявляется с одинаковой возможностью. Этим опреде­лено "условие равновозможности" событий, образующих полную груп­пу и тем самым обосновано применение метода непосредственного под­счета вероятности события. Общее число равновозможных событий nравно числу различных групп по Кэлементов (номеров шаров) изобщего числа N , отличающихся как составом, так и порядком расположения элементов, т.е. числу размещений . Число событий (требуемая последовательность может появить­ся один раз):