Решение задач, появляющихся в случайные
Моменты времени.(АОИ)
Задачи отличаются режимом обслуживания заявок.
Одноканальные системы массового обслуживания с отказами.
Вначале перечислим все возможные состояния системы:
S0 – канал свободен,
S1 – канал занят.
Под действием потока заявок, система меняет свое состояние.
λ– поток заявок.
Интенсивность:
λ =
- среднее расстояние между двумя заявками.
Под действием потока решений μ система из S1 возвращается в состояние S0.
μ =
μ – интенсивность потока решений.
Для данной системы составим уравнение
В левой части ставим производную для состояния. В правых частях уравнения столько слагаемых, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка выходит из состояния, соответствующее слагаемое берем со знаком минус, а если входит в соответствующее состояние, то со знаком плюс. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока, соответствующая стрелке, на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка. К этим уравнениям добавляется уравнение нормировки:
р0+р1=1.
Как правило рассчитывается установившийся режим системы, когда все произведения равны нулю.
Пример:
Возьмем λ=1, μ=1.
Получаем систему, в которой всегда можно удалить одно уравнение.
,
р0+р1=1.
Получили 2 уравнения с двумя неизвестными. Вероятность последнего есть вероятность отказа в выполнении заявки.
Многоканальная система массового обслуживания (СМО)
Имеем каналов.
-заявок нет, машина свободна.
-1 заявка, одна машина занята, остальные свободны.
заявок, все машины заняты.
Составляем уравнение Колмогорова:
Одно уравнение в системе надо удалить. Его удаляют и используют для контроля.
Многоканальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием.
Возьмем n каналов, m- длина очереди заявок.
-заявок нет, машина свободна, очереди нет.
-одна заявка, одна машина занята, остальные свободны, очереди нет.
- n -заявок, n -машин заняты, очереди нет.
- n+1 -заявок, n -машин заняты, одна заявка в очереди.
-n+m- заявок, n -машин заняты, m -заявок в очереди.
Сравним время ожидания :
Замкнутое СМО.
Дано:
n-кафедр,
m – ЭВМ,
- поток заявок,
- поток решений.
Кафедра, подавшая заявку не обслуживается до тех пор, пока не будет выполнена ее 1-ая заявка.
- заявок нет, ЭВМ свободны, очереди нет.
-1-ая заявка, 1 ЭВМ занята, очереди нет.
…..
- m заявок, m – ЭВМ, очереди нет.
заявка, , m – ЭВМ занято, 1 заявка в очереди.
заявок, m – ЭВМ занято, n-m в очереди.
Характеристики системы:
Определим среднее число заявок в системе -
- свободных.
- время ожидания подачи второй заявки.
Среднее число заявок в очереди - .
Выбор оптимального значения числа ЭВМ
, - потери, связанные с простоем машины; - потери,связанные с простоем заявки в очереди.
**********************************************************************
Система массового обслуживания с взаимопомощью между каналами.
СМО с отказами:
СМО с ожиданием :