Программа и её описание. Результаты вычислений.

Текст основной программы приведён ниже.

Программа 1.

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <math.h> //необходимые заголовочные файлы

#include <conio.h>

#include <fstream>

using namespace std;

double U(double t,double x,double u)

{

return u;

}

double fi(double x)

{

return pow(x,2)/2; //функция , первое приближение

}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

double T0=5; //определяем физические ограничения по t

const int nt=25;//число значений t

double T[nt]; //массив значений t

double S[nt]; //массив значений s

double dt=T0/(nt-1);//шаг по переменной t

T[0]=0;//начальное значение t, первый элемент массива

S[0]=0;

for (int i=1;i<nt;i++)

{

T[i]=T[i-1]+dt;//заполнение массива значений по t

S[i]=S[i-1]+dt;

}

double X0=20;//определяем ограничения по x

const int nx=20;//число значнеий x

double X[nx];//массив значений x

double dx;

dx=X0/(nx-1);//шаг по переменной x

X[0]=-X0/2;//первый элемент массива

for (int i=1;i<nx;i++)//заполнение массива значений по x

{

X[i]=X[i-1]+dx;

}

/*Массивы значений функций (V1 и V – два соседних приближения)*/

double u[nt][nx];

double (*eta)[nt][nx];

eta=new double[nt][nt][nx];

double (*eta1)[nt][nx];

eta1=new double[nt][nt][nx];

double (*V)[nt][nx];

V=new double[nt][nt][nx];

double (*W)[nt][nx];

W=new double[nt][nt][nx];

double (*V1)[nt][nx];

V1=new double[nt][nt][nx];

for (int i=0;i<nx;i++) /*заполнение массивов при (начальное условие )*/

{

u[0][i]=fi(X[i]);

eta[0][0][i]=X[i];

V[0][0][i]=u[0][i];

}

for (int i=0;i<nt;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

V[i][j][k]=fi(X[k]); //заполнение массива

}

}

}

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

u[j][k]=fi(X[k]); //определение функции

}

}

ofstream out("fi.txt");

out<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out<<u[j][i]<<"\t"; //запись значений функции в файл

}

out<<endl;

}

out.close();

/* определение переменных, с помощью которых обеспечивается выход из программы и сходимость последовательных приближений */

double sumst=0,sumst1=0,sumst2=0,sum0s=0,sum0s1=0,sum0s2=0;

double e=0.0001;

double dif=11;

double dif1=0;

double difeta=15;

double difeta1=0;

double dif2=0;

for (int n=0;n<5;n++)

{

for (int n=0;n<5;n++)

{

dif=0;//max raznost

difeta=0;//max raznost

//заполнение массива eta

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

if (i<=j)

{

sumst=0;

//вычисление интеграла

for (int s1=i;s1<j;s1++)

{

sumst+=V[s1][j][k]*dt;

}

eta1[i][j][k]=X[k]-sumst;

}

if (i>j)

{

sumst=0;

for (int s1=i;s1>j;s1--)

{

sumst+=V[s1][j][k]*dt;

}

eta1[i][j][k]=X[k]+sumst;

}

difeta1=fabs(eta1[i][j][k]-eta[i][j][k]);

if (difeta1>difeta) difeta=difeta1;

}

}

}

cout<<"difeta = "<<difeta<<endl;

//заполнение массива V [i][j][k] и W[i][j][k]

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

V1[i][j][k]=eta1[0][j][k]*exp(-2.0*i);

sum0s=0;

for (int s2=0;s2<i;s2++)

{

sum0s+=exp(2.0*s2)*V1[s2][j][k]*V1[s2][j][k]*dt;

}

W[i][j][k]=exp(-2.0*i)*(eta1[0][j][k]*eta1[0][j][k]*0.5+sum0s);

dif1=fabs(V1[i][j][k]-V[i][j][k]);

if (dif1>dif) dif=dif1;

}

}

}

cout<<dif<<endl;

if (fabs(dif2-dif)<e) break;

dif2=dif;

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

V[i][j][k]=V1[i][j][k]; /*последнее приближение становится предыдущим и цикл продолжается */

eta[i][j][k]=eta1[i][j][k]; //аналогично

}

}

}

}

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

u[j][k]=W[j][j][k]; /*присваиваем функции u значения массива W[j][j][k] */

}

}

}

ofstream out2("u.txt");

out2<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out2<<u[j][i]<<"\t"; //запись результатов в файл

}

out2<<endl;

}

out2.close();

/* запись файла значений известной функции u */

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

u[j][k]=(X[k]*X[k])/(4*exp(2.0*T[j])-2); }

}

ofstream out3("fu.txt");

out3<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out3<<u[j][i]<<"\t";

}

out3<<endl;

}

out3.close();

delete []eta;

delete []eta1;

delete []V;

delete []V1;

getch();

return 0;

}

Результаты вычислений записываются в три файла. Первый файл содержит значения функции . Графически её можно представить так:

Во второй файл записываются результаты вычислений в самой программе. Функция выглядит так:

В третий файл записываются значения функции , зная что

Тогда графически это будет иметь вид:

Таким образом, графики функций, построенные по результатам вычислений в программе и непосредественно, почти совпадают.

Пример 2. Рассмотрим более сложное уравнение. В качестве функции выберем

Тогда исходное уравнение примет вид:

В качестве начального условия возьмём функцию

Тогда

Уравнения системы (26) перепишутся в виде:

Аналогично составляем программу численного решения. Заметим, что в этом случае не получится непосредственно вычислить . Придётся находить значения обеих функций и по их предыдущим приближениям.

Возьмём следующие значения параметров: Тогда функция f примет вид:

При увеличении значений значения функции стремятся к нулю.

Таким образом, в программе используются следующие уравнения:

Программа 2.

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <fstream>

using namespace std;

double U(double t,double x,double u)

{

return u;

}

double fi(double x)

{

return exp(-pow(x,2));

}

double fi1(double x)

{

return -2*x*exp(-pow(x,2));

}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

double T0=5;

const int nt=25;

double T[nt];

double S[nt];

double dt=T0/(nt-1);

T[0]=0;

S[0]=0;

for (int i=1;i<nt;i++)

{

T[i]=T[i-1]+dt;

S[i]=S[i-1]+dt;

}//return 2.0;

double X0=20;

const int nx=20;

double X[nx];

double dx;

dx=X0/(nx-1);

//cout<<dx<<endl;

X[0]=-X0/2;

for (int i=1;i<nx;i++)

{

X[i]=X[i-1]+dx;

}

double u[nt][nx];

double (*eta)[nt][nx];

eta=new double[nt][nt][nx];

double (*eta1)[nt][nx];

eta1=new double[nt][nt][nx];

double (*V)[nt][nx];

V=new double[nt][nt][nx];

double (*W)[nt][nx];

W=new double[nt][nt][nx];

double (*V1)[nt][nx];

V1=new double[nt][nt][nx];

double (*W1)[nt][nx];

W1=new double[nt][nt][nx];

for (int i=0;i<nx;i++)

{

u[0][i]=fi(X[i]);

eta[0][0][i]=X[i];

V[0][0][i]=u[0][i];

}

//V0(s,t,x)=fi(x)

for (int i=0;i<nt;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

V[i][j][k]=fi(X[k]);

//cout<<V[i][j][k]<<endl;

}

}

}

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

u[j][k]=fi(X[k]);

}

}

for (int i=0;i<nt;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)

{

for (int k=0;k<nx;k++)

{

W[i][j][k]=fi1(X[k]);

//cout<<V[i][j][k]<<endl;

}

}

}

ofstream out("fi.txt");

out<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out<<u[j][i]<<"\t";

}

out<<endl;

}

out.close();

double sumst=0,sumst1=0,sumst2=0,sum0s=0,sum0s1=0,sum0s2=0;

double e=0.0001;

double dif=11;

double dif1=0;

double difeta=15;

double difeta1=0;

double dif2=0;

for (int n=0;n<5;n++)

{

for (int n=0;n<5;n++)

{

dif=0;//max raznost

difeta=0;//max raznost

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

if (i<=j)

{

sumst=0;

for (int s1=i;s1<j;s1++)

{

sumst+=V[s1][j][k]*dt;

}

eta1[i][j][k]=X[k]-sumst;//sumst=integral ot s(i) do t(j) ot Vn-1=sum(V*dt)

}

if (i>j)

{

sumst=0;

for (int s1=i;s1>j;s1--)

{

sumst+=V[s1][j][k]*dt;

}

eta1[i][j][k]=X[k]+sumst;//sumst=integral ot s(i) do t(j) ot Vn-1=sum(V*dt)

}

difeta1=fabs(eta1[i][j][k]-eta[i][j][k]);

if (difeta1>difeta) difeta=difeta1; //нахождение максимальной разности между приближениями eta

}

}

}

cout<<"difeta = "<<difeta<<endl;

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

for (int s2=0;s2<i;s2++)

{

sumst1+=(2/((1+V[s2][j][k])*(1+V[s2][j][k]))-2/((1+V[s2][j][k])*(1+V[s2][j][k])))*dt;

}

W1[i][j][k]=exp(-eta1[0][j][k]*eta1[0][j][k])*(-2*(eta1[0][j][k]))*sumst1;

sum0s=0;

for (int s2=0;s2<i;s2++)

{

sum0s+=(2/(1+V[s2][j][k])-2/(1+V[s2][j][k]))*dt;

}

sumst2=0;

for (int s2=0;s2<i;s2++)

{

sumst2+=(W[s2][j][k]*W[s2][j][k])*dt;

}

V1[i][j][k]=exp(-eta1[0][j][k]*eta1[0][j][k])+sum0s+sumst2;

//V1[i][j][k]=fi(X[k])*exp(-sum0s);

dif1=fabs(V1[i][j][k]-V[i][j][k]);

cout<<"ijk"<<"\t"<<i<<"\t"<<j<<"\t"<<k<<"\t"<<V1[i][j][k]<<"\t"<<V[i][j][k]<<"\tdif"<<dif<<endl;

if (dif1>dif) dif=dif1; //нахождение максимальной разности между соседними приближениями

}

}

}

cout<<dif<<endl;

if (fabs(dif2-dif)<e) break; //Условие завершения программы

dif2=dif;

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

for (int i=0;i<nt;i++)//s

{

V[i][j][k]=V1[i][j][k];

W[i][j][k]=W1[i][j][k];

eta[i][j][k]=eta1[i][j][k];

}

}

}

}

for (int k=0;k<nx;k++)//x

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

u[j][k]=V[j][j][k];

}

}

}

ofstream out2("u.txt");

out2<<nx<<endl;

for (int i=0;i<nx;i++)

{

for (int j=0;j<nt;j++)//t

{

out2<<u[j][i]<<"\t";

}

out2<<endl;

}

out2.close();

delete []eta;

delete []eta1;

delete []W;

delete []W1;

delete []V;

delete []V1;

getch();

return 0;

}

Результаты вычислений записываются в два файла. Первый файл содержит значения функции . Графически ( спомощью пакета для математических расчётов Scilab 5.2.2) её можно представить так:

Во второй файл записываются результаты вычислений в самой программе. Функция выглядит так:

Заключение.

Таким образом, метод дополнительного аргумента может быть эффективно использован для приближённого решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В работе исходное дифференциальное уравнение преобразовано в систему из двух квазилинейных уравнений. А посредством метода дополнительного аргумента эта система сведена к системе интегральных уравнений, достаточно простых по структуре. Затем эта система решается с помощью численных методов с последующей реализацией на ПК. Получены трёхмерные графики функции

Доказательство существования решения задачи Коши (1) – (2) позволяет применять метод аргумента для решения уравнения (1) с различными функциями , что иллюстрируется примерами.

Литература

1. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Применение метода дополнительного аргумента к одномерному аналогу задачи протекания // Материалы IV научной конференции КРСУ, Бишкек, май 1997г. – Бишкек: КРСУ, 1997.-С.26.

2. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Применение метода дополнительного аргумента к системе нелинейных уравнений типа полной производной по времени // Исслед. по интегродифференциальным уравнениям. – Бишкек: Илим, 1997. – Вып.26. - С. 161-169.

3. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Применение метода дополнительного аргумента к одномерному варианту задачи протекания с краевыми условиями третьего типа для скорости // Исслед. по интегродифференциальным уравнениям. – Бишкек: Илим, 1998. – Вып.27. - С. 225-243.

4. Алексеенко, С. Н., Эгембердиев Ш. А. Решение системы уравнений в частных производных первого порядка с начально-краевыми условиями методом дополнительного аргумента // Традиции и новации в культуре университетского образования (КТУ): Сб. трудов международ. науч. конференц. – Бишкек: Технология, 1998. – С.106-112.

5. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV, Физматгиз. 1958.

6. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. «Наука». М. 1970. 280 с.

Оглавление

Введение. 1

Постановка начальной задачи. 2

Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы. 3

Доказательство эквивалентности систем (8) и (26). 6

Доказательство существования решения задачи Коши .............. 12

Постановка задачи численного расчёта. 30

Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями. 34

Программа и её описание. Результаты вычислений. 36

Заключение. 51

Литература. 52