Параллельный перенос. Метод параллельного переноса

Задача 1

Постройте трапецию по заданным сторонам.

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Анализ. Пусть трапеция АВСD построена, ВС= а, АD= b, AB= c, CD= d Выполним параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru . Треугольник АВD Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru можно построить по трём сторонам c, d, b-a (b>a).

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Затем продолжим отрезок АD Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru на D Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru D = a. Через точку В проведем прямую, параллельную АD и на ней отложим отрезок ВС= а. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD – искомая.

План построения очевиден.

Доказательство. В четырехугольнике АВСD BC параллельна AD, значит ABCD – трапеция в которой AB = c, AD =b, так как AD= b – a + a. BD Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru = CD = d.

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Исследование. Треугольник ABD Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru можно построить по трём сторонам, если c – d < b – a < c + d. При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Если неравенство c – d < b – a < c + d не выполняется, то задача при выбранных данных не имеет решения.

Задача 2

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями.

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Анализ. Пусть ABCD – искомый параллелограмм и АВ = а, ВС = b, угол между диагоналями равен α. Если выполнить параллельный перенос на вектор ВС, то ТВС(D) = D1. Тогда AD1 = 2b, РACD1 = a, D – середина отрезка AD1 и DC = а. Значит, точка С принадлежит геометрическому месту точек из которых отрезок AD1 виден под углом a, и окружности S (D; a).

Построение.

AD1 = 2b;

F1 – геометрическое место точек из которых отрезок AD1 виден под углом a;

D – серединаотрезка AD1;

S = S (D; a);

CОF1З S (D; a);

B = TDA(C).

ABCD – искомый параллелограмм.

Метод параллельного переноса.
В средней школе умножение движений не рас­сматривается, и мы не можем вводить параллельный перенос как произведение двух отражений около парал­лельных осей, а вынуждены исходить из свойств парал­лелограммов.
Целесообразно с параллельным переносом знакомить учащихся в процессе решения задач па построение при изучении темы «Четырехугольники».
Имеются задачи вычислительного характера и на доказательство, требующие проведения прямых, парал­лельных боковой стороне трапеции, или в которых уже проведена такая прямая, например:
1) В трапеции ABCD из вершины В проведена пря­мая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Е с большим основанием АD. Периметр треугольника АВЕ равен 1м,а длима ED равна 3дм. Определить периметр трапеции.
2) Доказать, что в равнобедренной трапеции углы при основании равны. Для решения этой задачи учащиеся проводят прямую, параллельную боковой стороне, чтобы свести доказываемое предложение к свойству равнобед­ренного треугольника.
Но перенос части фигуры, искусственно отделенной от других элементов, для учащихся более сложен, чем пере­нос всей фигуры. Поэтому можно было бы начинать с ре­шения задачи, требующей переноса окружности. В этих задачах очень простое построение, так как фактически нужно перемещать в заданном направлении на данное расстояние лишь одну точку – центр окружности. Но при таком решении учащиеся не видят, как перемещаются точки окружности, ибо допустимо вращение окружности около центра, а это может привести к неправильному пониманию параллельного переноса. Например, в изве­стном пособии И. И. Александрова первым примером на метол параллельного переноса является задача: «Между двумя окружностями провести отрезок ХУ, делящимся пополам в данной точке А». Приведенное там решение показывает, что вместо параллельного переноса окруж­ности фактически выполнено отражение от точки А, ко­торое можно в данном случае рассматривать как про­изведение параллельного переноса и поворота окруж­ности вокруг своего центра на 180°.
Таким образом, при решении задач па построение мы применяем метод параллельного переноса, сущность ко­торого состоит вследующем: при анализе какую-нибудь фигуру подвергаем параллельному переносу на некото­рое расстояние в определенном направлении, в результа­те чего получаем вспомогательную фигуру, построение которой или очевидно, или не представляет затруднений. После этого производим обратный перенос и получаем искомую фигуру. Здесь же разъясняем, что параллель­ный перенос фигуры на некоторое расстояние означает, что все ее точки смещаются на одинаковое расстояние в определенном направлении. Следовательно, для опре­деления параллельного переноса нужно знать направ­ление и величину переноса. Параллельным перенос можно задать вектором переноса, которым одновременно определял бы и направле­ние и интервал данного переноса, но понятие вектора для семиклассников неизвестно, поэтому мы вынуждены выделять отдельно направление и величину переноса. В дальнейшем при решении всех задач па построение методом параллельного переноса требуем от учащихся указывать как направление переноса, так и расстояние, на которое перемещается каждая точка фигуры.

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса

Пусть а1 и а2 – две параллельные прямые. Пусть Х – произвольная точка плоскости. Построим точку Х¢, симметричную точке Х относительно прямой а1, а затем построим точку Х¢¢, симметричную точке Х¢ относительно прямой а2 (рис. 16). Преобразование, которое сопоставляет точке Х точку Х¢¢ указанным образом, называется параллельным переносом.

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru

Можно показать, что это преобразование обладает следующим свойством: все отрезки, каждый из которых соединяет две соответственные точки, равны, параллельны и направлены в одну сторону (каждый из них равен удвоенному расстоянию между а1 и а2). Другими словами, фигура F1 преобразуется в фигуру F2 так, как будто все точки фигуры F1 перенесены по прямым, перпендикулярным осям, в направлении от а1 к а2 на расстояние, равное удвоенному расстоянию между прямыми а1 и а2.

Преобразование переноса имеет большое применение при решении задач на построение; оно также служит цели раскрытия свойств искомых элементов. При этом чаще всего выполняется перенос некоторых известных элементов фигуры.

Рассмотрим следующий пример.

Задача 7.Даны окружность О, две ее точки А и В и прямая а, от которой окружность отсекает хорду CD. Требуется найти такую точку М окружности, чтобы отрезок PQ хорды CD, заключенный между хордами АМ и ВМ, был равен данному отрезку b.

Анализ. Пусть задача решена и точка М найдена (рис. 17).

Если будет отыскана одна из точек P или Q, то просто отыскать и точку М. Поэтому пусть, например, точка Q – искомая.

Пока очевидно лишь одно свойство этой точки: QÌа.

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru

Второе свойство пока не усматривается. Для выяснения этого свойства выполним параллельный перенос, определяемый вектором Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru . Тогда точка А преобразуется в А¢, точка P – в Q. Рассматривая образовавшуюся фигуру, видим такое свойство точки Q: отрезок А¢В из нее виден под углом j, который измеряется половиной известной дуги AnB. Поэтому, если точка Qсуществует, то она является точкой пересечения прямой а и дуги сегмента, построенного на отрезке А¢В и вмещающего угол j. Рассмотрим теперь следующую метрическую задачу.

Задача 8. Построить четырехугольник, если известны три его стороны и два внутренних острых угла, прилежащих к четвертой стороне.

Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru Анализ. Примем за известные вершины четырехугольника точки А и В (рис. 18). Тогда вершины С и D – искомые. Достаточно найти одну из них.Установим, например, свойства точки D. Очевидно, что DÌAD. Второе свойство точки D пока неочевидно.Выполним (определяемый вектором Параллельный перенос. Метод параллельного переноса - student2.ru ) параллельный перенос отрезка ВС. Тогда ломаная АВD¢может быть построена, и становится очевидным второе свойство точки D: D принадлежит окружности (D¢, b).Дальнейший ход рассуждений ясен.Если в каждой из двух рассмотренных задач довести решение до конца, то мы будем иметь пример применения метода параллельного переноса в решении задач на построение.Во многих задачах на построение четырехугольников параллельный перенос быстрее приводит к цели, если заранее изучить основные свойства фигур, образующихся после определенного переноса некоторых элементов четырехугольника.

Введение

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» – эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.

Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке учащихся. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Наши рекомендации